[matemáticas] 2 ^ x + 2 ^ {2y + 1} = 72 [/ matemáticas]; [matemáticas] 2 ^ {x + y-3} = 32 [/ matemáticas]. ¿Cómo resolvemos para x e y?

Answer 1

Estas son dos ecuaciones en dos incógnitas. Supongamos que [math] x [/ math] y [math] y [/ math] son ​​reales.

[matemáticas] 2 ^ {x + y-3} = 32 = 2 ^ 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] x + y-3 = 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 8-y [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ x + 2 ^ {2y + 1} = 72 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ {8-y} +2 (2 ^ y) ^ 2 = 72 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 8/2 ^ {y} + 2 (2 ^ y) ^ 2 – 72 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 (2 ^ y) ^ 3 – 72 (2 ^ y) + 2 ^ 8 = 0 [/ matemáticas]

Esa es una ecuación cúbica en [matemáticas] 2 ^ y [/ matemáticas], y no una con soluciones particularmente agradables.

Deje [math] Y = 2 ^ y. [/ Math] Otra respuesta sugiere que la ecuación debería ser

[matemáticas] 2 ^ x + 2 ^ {2y-1} = 72 [/ matemáticas]

llevando a

[matemática] \ frac 1 2 Y ^ 3 – 72 Y + 256 = 0 [/ matemática]

Al menos este tiene solución entera [matemática] Y = 4. [/ matemática] Verifique: [matemática] (1/2) 64 +256 – 72 (4) = 288–288 \ quad \ marca de verificación [/ matemática]

[matemática] 0 = \ frac 1 2 Y ^ 3 – 72 Y + 256 = \ frac 1 2 (Y-4) (Y ^ 2 + 4Y-128) [/ matemática]

Además de [matemáticas] Y = 4 [/ matemáticas] obtenemos raíces reales [matemáticas] Y = -2 \ pm \ sqrt {132} = -2 \ pm 2 \ sqrt {33} [/ matemáticas]

Entonces obtenemos [math] y = \ log_2 Y = 2, y = \ log_2 (-2 + 2 \ sqrt {33}) [/ math]

Omitiremos el signo negativo, que da un argumento de registro negativo y un resultado complejo.

Claramente [matemáticas] x = 8-y = 6 [/ matemáticas] para [matemáticas] y = 2 [/ matemáticas] y algo más desordenado para la otra solución.

Answer 2

[matemáticas] 2 ^ {x + y-3} = 32 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2 ^ {x + y-3} = 2 ^ 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x + y-3 = 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x + y = 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = 8-y [/ matemáticas]

---

[matemáticas] 2 ^ x + 2 ^ {2y + 1} = 72 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2 ^ {8-y} + 2 ^ {2y + 1} = 72 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {256} {2 ^ y} +2 (2 ^ {2y}) = 72 [/ matemáticas]

Deje [matemáticas] z = 2 ^ y [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {256} {z} + 2z ^ 2 = 72 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2z ^ 3–72z + 256 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica z ^ 3–36z + 128 = 0 ……. [i] [/ matemáticas]

• [matemáticas] 2 \ mediados de 36, 2 \ mediados de 128 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 \ nmid 1 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 2 ^ 2 \ mediados de 128 [/ matemáticas]

Según el criterio de Einsteins, esta ecuación es reducible sobre [math] \ Q [/ math]

Usando la regla de signos de Descartes

[matemáticas] f (z) = z ^ 3–36z + 128 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 [/ matemáticas] Cambios de signos, [matemáticas] 2 [/ matemáticas] raíces reales positivas

[matemáticas] f (-z) = – z ^ 3 + 36z-128 [/ matemáticas]

[matemática] 2 [/ matemática] Cambios de signos, [matemática] 2 [/ matemática] raíces reales negativas.

Ninguno de estos es posible

Debemos tener, [matemáticas] 1 [/ matemáticas] raíces reales positivas y [matemáticas] 2 [/ matemáticas] raíces complejas o, [matemáticas] 1 [/ matemáticas] raíz real negativa y [matemáticas] 2 [/ matemáticas] complejo raíces

WolframAlpha confirma

Hay un error en la pregunta 🙂

Las respuestas deben salir en números reales.

Answer 3

Podemos escribir

[matemáticas] 2 ^ x + 2 * 2 ^ {2y} = 72 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 ^ x 2 ^ y = 32 * 8 = 256 [/ matemáticas]

let [matemáticas] 2 ^ x = p [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 ^ y = q [/ matemáticas] Entonces

[matemáticas] p + 2q = 72 …… .. (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] pq = 256…. (2) [/ matemáticas]

Ahora [matemáticas] (p-2q) ^ 2 = (p + 2q) ^ 2–8pq [/ matemáticas]

[matemáticas] p-2q = \ pm \ sqrt {72 ^ 2-8 * 256} = \ pm 56 [/ matemáticas]

(A) [matemáticas] p-2q = 56… .. (3) [/ matemáticas]

Resolviendo (1) y (3) p = 64 y q = 4 es decir

2 ^ x = 64 \ por lo tanto x = 6

2 ^ y = 4 \ por lo tanto y = 2

entonces (6,2) es una solución.

(B) [matemáticas] p-2q = -56… .. (4) [/ matemáticas]

Resolviendo (1) y (4) p = 8 y q = 32

correspondiente x = 3 e y = 5

Entonces (3,5) es otra solución.

Ans; (6,2) y (3,5)

Answer 4

Creo que te refieres a [matemáticas] 2y-1 [/ matemáticas] en la primera ecuación.

[matemáticas] 2 ^ x + 2 ^ {2y-1} = 72 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ {x + y-3} = 32 [/ matemáticas]

De la segunda ecuación queda claro que [matemáticas] x + y = 8 [/ matemáticas]

Ahora la primera ecuación.

72 pueden desglosarse como

• 1 + 71
• 2 + 70
• 4 + 68
• 8 + 64
• 16 + 56
• 32 + 40
• 64 + 8

Creo que ves lo que he hecho.

A partir de esto, deduciré que [matemáticas] 2 ^ x [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 ^ {2y-1} [/ matemáticas] son ​​64 u 8.

[matemática] x = 3 [/ matemática] y [matemática] y = 3.5 [/ matemática]

O, [matemáticas] x = 6 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = 2 [/ matemáticas]

El segundo par de valores satisface ambas ecuaciones.

Por lo tanto, [matemáticas] x = 6 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = 2 [/ matemáticas] es la respuesta.

Answer 5

x, y números enteros positivos que suman 8 de la segunda ecuación.

Solo hay dos potencias de 2 que suman 72 para la primera ecuación:

8 + 64 en cualquier orden:

2 ^ 3 + 2 ^ 6, 2 ^ 6 + 2 ^ 2

1er caso: x es 3, y = 8 – 3 = 5, por lo que no es consistente porque 2 (5) + 1 no es 6

2do caso: x = 6, entonces y = 2, no consistente porque 2 (2) + 1 no es 2

Hay un error en la pregunta.

Answer 6

Realmente depende de qué variable estés resolviendo. De cualquier manera, tendrías que usar logaritmos de alguna manera. Si está resolviendo y es bastante simple.

Para x será más complicado porque tiene una variable x tanto en un exponente como en una expresión algebraica regular.

Answer 7

En el mundo real, a menudo buscamos soluciones reales que no existen.