La respuesta corta es sí, hay muchas definiciones “límite” para diferenciales como “[math] dx [/ math]”. Pero para aclarar cómo funcionan es una introducción de dos años a los requisitos previos en el programa de estudio de muchos estudiantes de posgrado. Aquí hay algunas ideas relacionadas:
- Topológicamente, dado un punto [matemático] x [/ matemático] en un espacio, [matemático] dx [/ matemático] es el filtro de vecindades abiertas del punto [matemático] x [/ matemático]. Si un conjunto [matemático] A [/ matemático] está en dicho filtro, entonces cada miembro del conjunto [matemático] A [/ matemático] está “cerca” del punto [matemático] x [/ matemático]. El punto [math] x [/ math] es un límite de este filtro. Si el espacio es Hausdorff (por ejemplo, la línea real), entonces [matemática] x [/ matemática] es el único límite de este filtro.
- Modelo Teóricamente, [math] dx [/ math] es un nombre genérico para un elemento de ampliación (a menudo construido utilizando ultrapoderes o ultraproductos o, en cierto sentido intuitivo, productos filtrados) de un espacio, o de una estructura algebraica, o de Un modelo de alguna teoría, en el que reside el punto [matemáticas] x [/ matemáticas]. En este sentido, [math] dx [/ math] no es un elemento de la estructura original, sino que es un elemento de un límite de estructuras que son indistinguibles (por un lenguaje de predicado de cierto orden) de la estructura original, pero son distinguibles usando idiomas de orden superior. (Estoy un poco ondulado aquí, debido a la baja probabilidad de que muchos lectores hayan tenido una introdución en la teoría del modelo necesaria para hacer que todo sea extremadamente preciso y “limpio”.) El análisis no estándar hace esto, lo que hace posible tratar [ math] dx [/ math] como un número infinitesimal (hiperreal) “real” (pero no un número real).
- Lie Groups y Lie Algebras usan [math] dx [/ math] para generar un espacio tangente … El espacio tangente involucrado es el espacio tangente en la identidad del grupo, y un vector unitario en ese espacio a veces se llama “un infinitesimal generador en el origen “, porque el origen del espacio tangente es el punto original [matemáticas] x [/ matemáticas] en el espacio original. Los operadores en este espacio tangente son (identificados con) linealizaciones de los operadores no lineales en el espacio subyacente. El espacio tangente puede considerarse como un límite de espacios que se aproximan mejor a la “direccionalidad” del espacio a medida que uno se acerca al punto. Estos generadores infinitesimales no suelen conmutar cuando uno coloca en el espacio tangente una estructura multiplicativa útil que a menudo proviene del uso de tensores en el estudio de fenómenos físicos.