Cómo resolver [matemática] \ dfrac {dy} {dx} = x + y ^ 2 [/ matemática]

Deseamos resolver

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = x + y ^ {2} \ tag {1} [/ matemáticas]

Un enfoque es expresar la solución como una serie de potencia, a saber

[matemática] y = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} \ mbox {where} a_ {n} \ in \ Re \ tag {2} [/ math]

Ahora diferenciar (2)

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} na_ {n} x ^ {n-1} \ tag {3} [/ matemáticas]

Cuadrado (2) para llegar

[matemática] y ^ {2} = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} x ^ {n} \ tag {4} [/ matemática]

dónde

[matemáticas] c_ {n} = \ sum \ limits_ {r = 0} ^ {n} a_ {r} a_ {nr} \ tag {5} [/ matemáticas]

Usando (3) y (4) en (1)

[matemática] \ begin {align *} \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} na_nx ^ {n-1} & = x + \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n } x ^ {n} \ end {align *} [/ math]

o

[matemáticas] \ begin {align *} a_ {1} + 2a_ {2} x + \ sum \ limits_ {n = 3} ^ {\ infty} na_ {n} x ^ {n-1} & = x + c_ { 0} + c_ {1} x + \ sum \ limits_ {n = 2} ^ {\ infty} c_ {n} x ^ {n} \ end {align *} [/ math]

desplazar el índice en la suma de la izquierda produce algo más útil

[matemáticas] \ begin {align *} a_ {1} + 2a_ {2} x + \ sum \ limits_ {n = 2} ^ {\ infty} (n + 1) a_ {n} x ^ {n} & = x + c_ {0} + c_ {1} x + \ sum \ limits_ {n = 2} ^ {\ infty} c_ {n} x ^ {n} \ tag {6} \ end {align *} [/ math]

Comparando ambos lados de (6) llegamos a

[matemáticas] \ begin {align *} a_ {1} & = c_ {0} \ tag {7} \\ 2a_ {2} & = 1 + c_ {1} \ tag {8} \ end {align *} [ /matemáticas]

también

[matemáticas] \ begin {align *} (n + 1) a_ {n + 1} & = c_ {n} \ mbox {(for} n \ ge 2 \ mbox {)} \ tag {9} \ end {align *}[/matemáticas]

Ahora usando (5) con (7), (8) y (9) da

[matemáticas] \ begin {align *} a_ {1} & = a_ {0} ^ {2} \\ a_ {2} & = \ dfrac {1 + 2a_ {0} ^ {3}} {2} \\ a_ {3} & = \ dfrac {3a_ {0} ^ {4} + a_ {0}} {4} \\ a_ {4} & = \ dfrac {12a_ {0} ^ {5} + 5a_ {0} ^ {2}} {12} \ end {align *} [/ math]

Usando (2) los primeros términos de una solución son

[matemáticas] \ begin {align *} y & = a_ {0} + a_ {0} ^ {2} x + \ dfrac {1 + 2a_ {0} ^ {3}} {2} x ^ {2} + \ dfrac {3a_ {0} ^ {4} + a_ {0}} {4} x ^ {3} + \ dfrac {12a_ {0} ^ {5} + 5a_ {0} ^ {2}} {12} x ^ 4 + \ cdots \ end {align *} [/ math]

¿Cómo resuelvo [math] y ′ = x + y ^ 2 [/ math] ?

Como señaló Job Bouwman, la solución exacta es desordenada y está escrita en términos de funciones de Bessel (Wikipedia).

Si está tratando de investigar DEs por su cuenta, deberá reconocer que para muchas DEs, las soluciones son desordenadas (como esta) o no se pueden expresar en términos de funciones elementales. (De hecho, las funciones de Bessel se definieron como una forma de expresar las soluciones a una familia particular de DE). A veces, una solución numérica puede ser lo mejor que puede hacer (o al menos podrían brindarle información útil con mucho menos trabajo) – lo que significa que necesita aprender sobre los métodos utilizados para visualizar esas soluciones.

Aquí hay una gráfica de tres (aproximadas) curvas de soluciones, creadas usando el método Runge-Kutta “RK4”. Puede explorarlos usted mismo en los campos de pendiente y dirección para ecuaciones diferenciales.

Harinadh Appidi Anoche vi tu pregunta, traté de responderla y me quedé atrapado, luego tuve que aprender sobre la ecuación de Riccati. Resolví tu problema, lo único que no sé es una solución particular. Sin una solución particular dada, no conozco otras formas de resolver este problema.

Aquí va

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = x + y ^ 2 [/ matemáticas]

Deje [math] y = y_1 + u [/ math]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {dy_1} {dx} + \ dfrac {du} {dx} [/ matemáticas]

Sustituir todo en la ecuación original.

[matemáticas] \ dfrac {dy_1} {dx} + \ dfrac {du} {dx} = x + (y_1 + u) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {dy_1} {dx} + \ dfrac {du} {dx} = x + y_ {1} ^ {2} + 2y_1u + u ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {dy_1} {dx} + \ dfrac {du} {dx} = (x + y_ {1} ^ {2}) + 2y_1u + u ^ 2 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que si [math] \ dfrac {dy} {dx} = x + y ^ 2 [/ math]

Entonces [matemáticas] \ dfrac {dy_1} {dx} = x + y_ {1} ^ {2} [/ matemáticas]

Esto reduce nuestra ecuación a …

[matemáticas] \ dfrac {du} {dx} = 2y_1u + u ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {du} {dx} -2y_1u = u ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {1} {u ^ 2} \ dfrac {du} {dx} – \ dfrac {2y_1} {u} = 1 [/ matemáticas]

Ahora esta es una ecuación de Bernoulli.

Deje que [matemáticas] w = \ dfrac {1} {u} \ implica \ dfrac {dw} {dx} = – \ dfrac {1} {u ^ 2} \ dfrac {du} {dx} [/ matemáticas]

Sustituya estos en la ecuación de Bernoulli para obtener …

[matemáticas] – \ dfrac {dw} {dx} -2y_1w = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {dw} {dx} + 2y_1w = -1 [/ matemáticas]

Ahora tenemos una ecuación lineal.

Necesito una solución particular [matemáticas] y_1 (x) = [/ matemáticas] algo que satisfaga la ecuación original. Una vez que tenga eso, resolver esto es pan comido. Aparte de eso, este es el máximo que podré hacer.

Gracias por el A2A. Anoche aprendí a resolver la ecuación de Riccati, antes de apagar las luces. 🙂

La ecuación diferencial ordinaria no lineal de primer orden de Riccati se puede resolver con la ayuda de Mathematica escribiendo el siguiente código:

FullSimplify [DSolve [Derivado [1] [y] [x] == y [x] ^ 2 + x, y [x], x]]

El resultado o la solución a la ecuación diferencial dada es el siguiente:

[matemáticas] \ large y (x) = \ displaystyle \ frac {\ sqrt {x} \ left (c_ 1 J_ {\ frac {2} {3}} \ left (\ frac {2 x ^ {3/2} } {3} \ right) – J_ {- \ frac {2} {3}} \ left (\ frac {2 x ^ {3/2}} {3} \ right) \ right)} {c_ 1 J_ { – \ frac {1} {3}} \ left (\ frac {2 x ^ {3/2}} {3} \ right) + J_ {\ frac {1} {3}} \ left (\ frac {2 x ^ {3/2}} {3} \ right)} [/ math]

donde [math] J_n (x) [/ math] es la función Bessel del primer tipo.

Solo como una verificación adicional, si tomamos la constante [matemática] c_1 [/ matemática] en la solución anterior como igual a [matemática] 1 [/ matemática], y si intentamos encontrar si la derivada de la solución de Mathematica [matemática ] y (x) [/ math] obtenido anteriormente es igual a [math] x + y (x) ^ 2 [/ math] escribiendo:

FullSimplify [D [(Sqrt [x] * (BesselJ [2/3, (2 * x ^ (3/2)) / 3] – BesselJ [- (2/3),
(2 * x ^ (3/2)) / 3])) / (BesselJ [- (1/3), (2 * x ^ (3/2)) / 3] +
BesselJ [1/3, (2 * x ^ (3/2)) / 3]), x] ==
x + ((Sqrt [x] * (BesselJ [2/3, (2 * x ^ (3/2)) / 3] – BesselJ [- (2/3),
(2 * x ^ (3/2)) / 3])) / (BesselJ [- (1/3), (2 * x ^ (3/2)) / 3] +
BesselJ [1/3, (2 * x ^ (3/2)) / 3])) ^ 2]

El resultado o respuesta obtenida es:

Cierto

que verifica la solución producida por Mathematica.

Como ejemplo ilustrativo, a continuación se muestra el gráfico de la solución a la ecuación diferencial para los valores [matemática] c_1 = 1 [/ matemática], [matemática] c_1 = 2.5 [/ matemática] y [matemática] c_1 = 5 [/ matemáticas] (hecho con Mathematica y Photoshop). Haga clic en la imagen para ampliarla :

Para obtener más información, consulte los siguientes enlaces:

Ecuación de Riccati

Ecuación diferencial de Riccati

Función de Bessel del primer tipo

Esta es una ecuación de Ricatti.
Las ecuaciones de la forma dy / dx = A (x) y ^ 2 + B (x) y + C (x) se llaman ecuaciones de Riccati. Si y1 (x) es una solución particular conocida para una ecuación de Ricatti, entonces el
sustitución v = y – y1 transformará la ecuación de Riccati en un Bernoulli
ecuación

Puede intentar integrar ambos lados de la ecuación:

entonces, suponiendo:

divides por y y finalmente obtienes:

esta es, por supuesto, una solución simple. debido a la suposición

no es la solución completa, ya que hay muchas otras funciones que satisfarán el ODE.

Es difícil:

Ver: motor de conocimiento computacional