Deseamos resolver
[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = x + y ^ {2} \ tag {1} [/ matemáticas]
Un enfoque es expresar la solución como una serie de potencia, a saber
[matemática] y = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} \ mbox {where} a_ {n} \ in \ Re \ tag {2} [/ math]
- Cómo resolver el coeficiente variable oda de la siguiente forma
- [matemáticas] 2 ^ x + 2 ^ {2y + 1} = 72 [/ matemáticas]; [matemáticas] 2 ^ {x + y-3} = 32 [/ matemáticas]. ¿Cómo resolvemos para x e y?
- Cómo calcular la solución de dos ecuaciones diferenciales
- ¿Por qué hay ecuaciones matemáticas que son tan largas?
- ¿Cuál es la diferencia entre diferencial, derivada y diferenciación?
Ahora diferenciar (2)
[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} na_ {n} x ^ {n-1} \ tag {3} [/ matemáticas]
Cuadrado (2) para llegar
[matemática] y ^ {2} = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} x ^ {n} \ tag {4} [/ matemática]
dónde
[matemáticas] c_ {n} = \ sum \ limits_ {r = 0} ^ {n} a_ {r} a_ {nr} \ tag {5} [/ matemáticas]
Usando (3) y (4) en (1)
[matemática] \ begin {align *} \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} na_nx ^ {n-1} & = x + \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n } x ^ {n} \ end {align *} [/ math]
o
[matemáticas] \ begin {align *} a_ {1} + 2a_ {2} x + \ sum \ limits_ {n = 3} ^ {\ infty} na_ {n} x ^ {n-1} & = x + c_ { 0} + c_ {1} x + \ sum \ limits_ {n = 2} ^ {\ infty} c_ {n} x ^ {n} \ end {align *} [/ math]
desplazar el índice en la suma de la izquierda produce algo más útil
[matemáticas] \ begin {align *} a_ {1} + 2a_ {2} x + \ sum \ limits_ {n = 2} ^ {\ infty} (n + 1) a_ {n} x ^ {n} & = x + c_ {0} + c_ {1} x + \ sum \ limits_ {n = 2} ^ {\ infty} c_ {n} x ^ {n} \ tag {6} \ end {align *} [/ math]
Comparando ambos lados de (6) llegamos a
[matemáticas] \ begin {align *} a_ {1} & = c_ {0} \ tag {7} \\ 2a_ {2} & = 1 + c_ {1} \ tag {8} \ end {align *} [ /matemáticas]
también
[matemáticas] \ begin {align *} (n + 1) a_ {n + 1} & = c_ {n} \ mbox {(for} n \ ge 2 \ mbox {)} \ tag {9} \ end {align *}[/matemáticas]
Ahora usando (5) con (7), (8) y (9) da
[matemáticas] \ begin {align *} a_ {1} & = a_ {0} ^ {2} \\ a_ {2} & = \ dfrac {1 + 2a_ {0} ^ {3}} {2} \\ a_ {3} & = \ dfrac {3a_ {0} ^ {4} + a_ {0}} {4} \\ a_ {4} & = \ dfrac {12a_ {0} ^ {5} + 5a_ {0} ^ {2}} {12} \ end {align *} [/ math]
Usando (2) los primeros términos de una solución son
[matemáticas] \ begin {align *} y & = a_ {0} + a_ {0} ^ {2} x + \ dfrac {1 + 2a_ {0} ^ {3}} {2} x ^ {2} + \ dfrac {3a_ {0} ^ {4} + a_ {0}} {4} x ^ {3} + \ dfrac {12a_ {0} ^ {5} + 5a_ {0} ^ {2}} {12} x ^ 4 + \ cdots \ end {align *} [/ math]