Cómo encontrar una solución particular a esta ecuación diferencial

Answer 1

Bien, primero encuentra la solución complementaria

[matemáticas] r ^ 2 + 4r + 4 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (r + 2) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica r = -2, -2 [/ matemáticas]

[matemáticas] y_c = c_1e ^ {- 2x} + c_2xe ^ {- 2x} [/ matemáticas]

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Mira en el lado derecho, ¿qué tenemos?

[math] t + 1 [/ math], este es un polinomio de primer orden, o polinomio lineal, por esta razón nuestra solución particular tiene un formato de [math] At + B [/ math]. Solo para estar seguro, supongo que esta parte es [matemática] En ^ 2 + Bt + C [/ matemática], porque también estoy tomando la segunda derivada (mira en el lado izquierdo), lo que la reducirá a [matemática] 2A [/ matemática], y luego, si después de comparar coeficientes encuentro que [matemática] A = 0 [/ matemática], entonces no tengo objeciones. Pero por si acaso, si tengo [math] A \ neq0 [/ math] entonces estaría equivocado al suponer [math] y_p = At ​​+ B +…. [/ Math]

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Otra función en el lado derecho es la [matemática] \ sin t [/ matemática], está bien cada vez que vea esta función [matemática] \ sin [/ matemática] o [matemática] \ cos [/ matemática] en el lado derecho de la ecuación diferencial, y si estamos tratando de usar un método de coeficientes indeterminados, siempre pensemos en una ecuación de onda que tenga ambos tipos de comportamiento sinusoidal, es decir, seno y coseno. ¿Por qué hacemos esto? Una vez más, solo como medida de seguridad. Resolveré el problema por ti, para que veas qué sucede exactamente …

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Sea [math] y_p = At ​​^ 2 + Bt + C + D \ sin t + E \ cos t [/ math]

[matemáticas] \ implica y_ {p} ^ {‘} = 2At + B + D \ cos tE \ sin t [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y_ {p} ^ {”} = 2A-D \ sin tE \ cos t [/ matemáticas]

[matemáticas] y_ {p} ^ {”} + 4y_ {p} ^ {‘} + 4y_p = t + 1 + \ sin t [/ matemáticas]

[matemática] \ implica At ^ 2 + (2A + B) t + (DED) \ sin t + (E + DE) \ cos t + (C + 2A) = t + 1 + \ sin t [/ matemática]

[matemática] \ implica At ^ 2 + (2A + B) tE \ sin t + D \ cos t + (C + 2A) = t + 1 + \ sin t [/ matemática]

Comparando coeficientes obtenemos

[matemáticas] A = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2A + B = 1 \ implica B = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] -E = 1 \ implica E = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] D = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] C + 2A = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ implica C = -2A \ implica C = 0 [/ matemática]

Entonces [matemáticas] y_p = t- \ cos t [/ matemáticas]

[matemáticas] y = y_c + y_p [/ matemáticas]

[matemática] \ implica \ en caja {y = c_1e ^ {- 2x} + c_2xe ^ {- 2x} + t- \ cos t} [/ matemática]

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¿Viste lo que acaba de pasar? La solución particular tiene [math] \ cos t [/ math], que al diferenciarse dos veces de alguna manera cambia a [math] \ sen t [/ math], por lo que si no incluye el seno y el coseno en su solución particular preliminar, seguramente vas a cometer un error.

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Gracias por la A2A

Answer 2

[matemática] \ dfrac {\ mathrm {d} ^ 2 x} {\ mathrm {d} t ^ 2} +4 \ dfrac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} + 4x = t + 1 + \ dfrac {e ^ {it} -e ^ {- it}} {2i} [/ math]

La función complementaria es, la solución de [matemáticas] D ^ 2 + 4D + 4 = 0 [/ matemáticas], las raíces son [matemáticas] m_1, m_2 [/ matemáticas]. [matemáticas] m_1 = m_2 = 2 [/ matemáticas]. El CF es [matemática] Ax ^ {m_1 x} + Be ^ {m_2 x} = [/ matemática] [matemática] (Ax + B) e ^ {2t} [/ matemática]

La integral particular es [math] \ displaystyle \ \ int {\ dfrac {f (t)} {\ phi (D)}} [/ math]. (No es similar a una integral).

[matemáticas] \ displaystyle \ \ int {\ dfrac {1} {\ phi (D)} \ veces f (t)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {8i} \ displaystyle \ \ int {\ left (\ dfrac {D ^ 2} {4} + D + 1 \ right) ^ {- 1} \ times (2it + 2ie ^ { 0t} + e ^ {it} + e ^ {- it})} [/ math]

Tomamos cada término y lo PI,

[matemáticas] \ dfrac {-i} {8} \ displaystyle \ \ int {2it \ times \ left (\ dfrac {D ^ 2} {4} + D + 1 \ right) ^ {- 1}} [/ math ]

Ahora, expandimos [matemáticas] \ left (\ dfrac {D ^ 2} {4} + D + 1 \ right) ^ {- 1} = \ left (1- \ dfrac {D ^ 2} {4} + D + \ left (\ dfrac {D ^ 2} {4} + D \ right) ^ 2 -… \ right) [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {-i} {8} \ displaystyle \ \ int {2it \ times \ left (1- \ dfrac {D ^ 2} {4} + D + \ left (\ dfrac {D ^ 2} { 4} + D \ derecha) ^ 2 -… \ derecha)} [/ matemáticas]

Ahora debemos mirar cuidadosamente [math] 2it [/ math]. Solo puede diferenciarlo una vez, porque si diferencia más de [matemática] 1 [/ matemática], entonces se convierte en [matemática] 0 [/ matemática]. Por lo tanto, solo puede tomar los dos primeros términos de la expansión [math] (1 + x) ^ {- 1} [/ math]. (Al poder [matemático] ^ 1 [/ matemático] de [matemático] \ dfrac {D ^ 2} {4} + D [/ matemático])

[matemáticas] \ dfrac {-i} {8} \ displaystyle \ \ int {2it \ times \ left (1- \ dfrac {D ^ 2} {4} + D + \ left (\ dfrac {D ^ 2} { 4} + D \ derecha) ^ 2 -… \ derecha)} [/ matemáticas]

Multiplicando,

[matemáticas] \ dfrac {-i} {8} \ displaystyle \ \ int {\ left (2it- \ dfrac {\ dfrac {\ mathrm {d} ^ 2x} {\ mathrm {d} t ^ 2}} {4 } (2it) – \ dfrac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} (2it) \ right)} [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {-i} {8} \ displaystyle \ \ int {\ left (2it-2i \ right)} [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {-i \ veces 2i} {8} \ displaystyle \ \ int {\ left (t-1 \ right)} [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {1} {4} (t-1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {-i} {2} \ displaystyle \ \ int {\ dfrac {1} {(D + 2) (D + 2)} \ times 2ie ^ {0t}} [/ math]

Como, [matemática] 0 [/ matemática] no es una raíz de [matemática] D ^ 2 + 4D + 4 [/ matemática], sustituimos, [matemática] D = 0, [/ matemática]

[matemáticas] \ displaystyle \ \ int {\ dfrac {1} {(0 + 2) (0 + 2)} \ veces e ^ {0t}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {4} [/ matemáticas]

Ahora puedes manejar todo por ti mismo.