Cómo encontrar la solución general de [math] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {3y} {2 + x} [/ math]

Answer 1

Esta es una ecuación diferencial separable, lo que significa que desea resolverla separando variables. Entonces comience así:

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {3y} {2 + x} [/ matemáticas]

[matemáticas] dy = \ frac {3y} {2 + x} \ dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {3y} \ dy = \ frac {1} {2 + x} \ dx [/ matemáticas]

Porque sabemos que

[matemáticas] \ int \ frac {1} {x} \ dx = \ ln {| x |} + C [/ matemáticas]

Podemos integrar ambos lados.

[matemáticas] \ int \ frac {1} {3y} \ dy = \ int \ frac {1} {2 + x} \ dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {3} \ ln {| y |} + C_1 = \ ln {| 2 + x |} + C_2 [/ matemáticas]

Nuestro objetivo ahora es resolver [matemáticas] y [/ matemáticas].

[matemáticas] \ frac {1} {3} \ ln {| y |} = \ ln {| 2 + x |} + C_2-C_1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln {| y |} = 3 \ ln {| 2 + x |} + 3C_2-3C_1 [/ matemáticas]

Eleve ambos lados a la base [matemática] e [/ matemática], para cancelar la [matemática] ln [/ matemática] en el lado izquierdo.

[matemáticas] e ^ {\ ln {| y |}} = e ^ {3 \ ln {| 2 + x |} + 3C_2-3C_1} [/ matemáticas]

[matemáticas] | y | = e ^ {3 \ ln {| 2 + x |} + 3C_2-3C_1} [/ matemáticas]

Deshágase del valor absoluto de la izquierda agregando un [math] \ pm [/ math] a la derecha.

[matemáticas] y = \ pm e ^ {3 \ ln {| 2 + x |} + 3C_2-3C_1} [/ matemáticas]

Como [math] e ^ {a + b} = e ^ ae ^ b [/ math], podemos dividir el exponencial.

[matemáticas] y = \ pm e ^ {3 \ ln {| 2 + x |}} e ^ {3C_2} e ^ {- 3C_1} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ left (\ pm e ^ {3C_2} e ^ {- 3C_1} \ right) e ^ {3 \ ln {| 2 + x |}} [/ math]

Todo lo que está entre paréntesis aquí es una constante. Lo que significa que podemos consolidarlo todo en una sola constante [matemáticas] C [/ matemáticas]. Entonces la solución a la ecuación diferencial separable es

[matemáticas] y = Ce ^ {3 \ ln {| 2 + x |}} [/ matemáticas]

Como [math] a \ ln {x} = \ ln {(x ^ a)} [/ math], podemos reescribir la ecuación como

[matemáticas] y = Ce ^ {\ ln {\ left (| 2 + x | ^ 3 \ right)}} [/ math]

Las funciones exponenciales y logarítmicas se cancelan entre sí, y la solución se convierte en

[matemáticas] y = C | 2 + x | ^ 3 [/ matemáticas]

Answer 2

ingrese dy / dx = 3y / (2 + x) en http://www.mathHandbook.com , haga clic en el botón dsolve para obtener la respuesta:

http://www.mathhandbook.com/inpu …

Un clic para resolver (fraccional) la ecuación diferencial e integral.

ingrese su ecuación en el sitio web http://www.mathHandbook.com , haga clic en el botón dsolve para resolver la ecuación diferencial fraccional, el botón d / dx para derivada o el botón “semi d / dx” para calcular la derivada de orden 0.5, o el botón “semi integrar” para el semi-integral.

p.ej

d / dx y = 2y-1

d ^ 0.5 / dx ^ 0.5 y = 2y-1

Computación simbólica en línea Sistema de álgebra computacional

d ^ 0.5 / dx ^ 0.5 y = sin (x) * y / x

Computación simbólica en línea Sistema de álgebra computacional

(d / dx) ^ (- 1/2) y -2y = 0

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más información sobre

Software de matemática del sistema de álgebra computacional de cálculo fraccional

Answer 3

Reorganice esta ecuación diferencial para separar las variables [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] en ambos lados

[matemáticas] \ dfrac {1} {3y} \ times {dy} = \ dfrac {1} {(2 + x)} \ times {dx} [/ math]

Ahora, la ecuación se convierte en una ecuación diferencial separable variable.

Integre ambos lados para encontrar la solución de esta ecuación.

[matemáticas] \ int {\ dfrac {1} {3y} dy} = \ int {\ dfrac {1} {(2 + x)} dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {3} lny = ln (2 + x) + lnC [/ matemáticas]

Aquí, [math] lnC [/ math] es una constante de integración.

[matemáticas] lny = 3ln (2 + x) + 3lnC [/ matemáticas]

[matemáticas] lny = 3 [ln ((2 + x) C)] [/ matemáticas]

[matemáticas] y = e ^ {3 [ln ((2 + x) C)]} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = e ^ {[ln ((2 + x) C)] ^ {3}} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = [ln ((2 + x) C)] ^ {3} [/ matemáticas]

Answer 4

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {3y} {2 + x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \! \ frac {1} {3y} \, dy = \ int \! \ frac {1} {2 + x} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ frac {1} {3} \ ln {y} = \ ln {(2 + x)} + c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln {y ^ {1/3}} = \ ln {(2 + x)} + c [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ {1/3} = (2 + x) \ cdot e ^ c [/ matemáticas]

[matemáticas] y = c ‘(2 + x) ^ {3} [/ matemáticas]

Donde [matemáticas] c ‘= e ^ {3c} [/ matemáticas]

Answer 5

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {dy} {dx} = \ frac {3y} {2 + x} [/ math]

[math] \ Rightarrow \ displaystyle \ int \ frac {dy} {3y} = \ int \ frac {dx} {2 + x} [/ math]

El lado izquierdo nos dará [matemáticas] \ frac {1} {3} \ ln (y) [/ matemáticas] y el lado derecho nos dará [matemáticas] \ ln (2 + x) + \ ln (C ) = \ ln (C (2 + x)) [/ math]. He incluido la constante como parte de un logaritmo por simplicidad.

[math] \ Rightarrow \ ln (y) = \ ln (A (2 ​​+ x) ^ 3) [/ math]

O, [matemáticas] y = A (2 + x) ^ 3 [/ matemáticas].

Answer 6

Bueno, se puede hacer por un método variable separable, primero tome todas [matemáticas] y [/ matemáticas] a la izquierda y todas [matemáticas] X [/ matemáticas] a la derecha

[matemáticas] \ frac {dy} {3y} = \ frac {dx} {(2 + x)} [/ matemáticas]

luego integre ambos lados que darán:

[matemáticas] \ frac {1} {3} ln | y | = ln | 2 + x | + C [/ matemáticas]; [matemáticas] C [/ matemáticas] es alguna constante de integración

Ahora simplifica:

[matemáticas] ln | y ^ \ frac {1} {3} | -ln | 2 + x | = C [/ matemáticas]

[matemáticas] ln | \ frac {y ^ \ frac {1} {3}} {2 + x} | = C [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ c = \ frac {y ^ \ frac {1} {3}} {{2 + x}} [/ matemáticas]

Hacer [matemática] y [/ matemática] sujeto

[matemáticas] y = e ^ {3c}. (2 + x) ^ 3 [/ matemáticas]

Espero que ayude 🙂

Answer 7

La solución de esta ecuación diferencial se puede hacer mediante la separación de variables. Podemos escribir

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {dy} {y} = \ int \ frac {3} {2 + x} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ Rightarrow \ ln (y) = 3 \ ln (x + 2) + C [/ math]

para una constante [matemática] C. [/ matemática] Reorganizar nos da

[matemáticas] \ displaystyle y = e ^ {3 \ ln (x + 2) + C} = e ^ {3 \ ln (x + 2)} e ^ C = C_1e ^ {3 \ ln (x + 2)} [/matemáticas]

donde [matemáticas] C_1 = e ^ C. [/ matemáticas] Usar las reglas de potencia de los logaritmos implica que la solución de esta ecuación diferencial está dada por

[matemáticas] \ displaystyle y = C (x + 2) ^ 3. ~ _ {\ cuadrado} [/ matemáticas]

Answer 8

ccc-combobreaker!

Después de ocho (!) Respuestas equivalentes, es posible que desee ver el enfoque más fácil:

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Tenga en cuenta que [math] y ‘[/ math] tiene un factor [math] (2 + x) [/ math] menor que [math] y [/ math], por lo que tenemos un polinomio de la forma [math] y = a (2 + x) ^ n [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que [matemáticas] y ‘[/ matemáticas] sin embargo, tiene un factor adicional [matemáticas] 3 [/ matemáticas], por lo que para el orden de [matemáticas] y [/ matemáticas] tenemos [matemáticas] n = 3 [/ matemáticas ]

[matemáticas] y = a (2 + x) ^ 3 [/ matemáticas]

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Después de este intermezzo, siéntase libre de agregar otra solución a través de la separación de variables. Escuché que Quora acaba de comprar algunos servidores adicionales.

🙂