¿Cuál es la solución de la ecuación diferencial [matemáticas] (xy + x) dx = (x ^ 2y ^ 2 + y ^ 2 + x ^ 2 + 1) dy [/ matemáticas]?

Answer 1

[editado para mostrar el DE correcto]

Esta es una ecuación diferencial separable, lo que significa que se puede escribir en la forma [matemática] F (x) dx = G (y) dy [/ matemática]. En este caso, después de factorizar y reorganizar, tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {x} {x ^ 2 + 1} dx = \ frac {y ^ 2 + 1} {y + 1} dy [/ math]

Después de dividir el lado derecho para obtener [matemáticas] y-1 + \ frac {2} {y + 1} [/ matemáticas], ambos lados se pueden integrar con bastante facilidad:

[matemáticas] \ frac {1} {2} \ ln (x ^ 2 + 1) = \ frac {1} {2} y ^ 2-y + 2 \ ln | y + 1 | + C [/ matemáticas]

o (si eliminamos las fracciones)

[matemáticas] \ ln (x ^ 2 + 1) = y ^ 2-2y + \ ln ((y + 1) ^ 4) + C [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que esto se puede resolver para una solución explícita para [matemáticas] x [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] y [/ matemáticas]. Aquí hay un gráfico que muestra el campo de pendiente y algunas curvas de solución:

Campos de pendiente y dirección para ecuaciones diferenciales

Answer 2

[matemáticas] (xy + x) dx = (x ^ 2y ^ 2 + y ^ 2 + x ^ 2 + 1) dy [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x (y + 1) dx = [y ^ 2 (x ^ 2 + 1) +1 (x ^ 2 + 1)] dy [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x (y + 1) dx = (x ^ 2 + 1) (y ^ 2 + 1) dy [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {x} {x ^ 2 + 1} dx = \ dfrac {y ^ 2 + 1} {y + 1} dy [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {x} {x ^ 2 + 1} dx = \ left (y-1 + \ dfrac {2} {y + 1} \ right) dy [/ math]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ int {\ dfrac {x} {x ^ 2 + 1}} dx = \ int {\ left (y-1 + \ dfrac {2} {y + 1} \ right)} dy [/matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ boxed {\ dfrac {1} {2} \ ln | x ^ 2 + 1 | = \ dfrac {1} {2} y ^ 2-y + 2 \ ln | y + 1 | + C} [/ math]