La forma general de la ecuación diferencial en (la) pregunta se puede expresar como:
[matemáticas] \ displaystyle ay ‘(t) + B y (t) = Q \ left (\ frac {A} {2} – (\ frac {A} {\ pi}) (\ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {(-1) ^ k \ sin (2 \ pi fkt)} {k}) \ right) + \ text {Q0} [/ math]
La ecuación diferencial dada, con el límite superior de la suma igual al infinito, se puede resolver con la ayuda de Mathematica escribiendo:
DSolve [a * Derivado [1] [y] [t] + B * y [t] == Q * (A / 2 – (A / Pi) * Suma [(- 1) ^ k * (Sin [2 * Pi * k * f * t] / k), {k, 1, Infinito}]) + Q0, y [t], t]
- ¿Cuál es la solución de la ecuación diferencial [matemáticas] (xy + x) dx = (x ^ 2y ^ 2 + y ^ 2 + x ^ 2 + 1) dy [/ matemáticas]?
- Cómo determinar si una ecuación es una función o no
- ¿La operación Laplace Transform tiene alguna interpretación geométrica útil que pueda ayudar a comprender el concepto?
- Cómo encontrar una solución particular a esta ecuación diferencial
- ¿Cuál es la solución a este problema relacionado con la tangente cuadrática a la función de identidad? (Vea la imagen en detalles)
El código anterior produce una solución valiosa compleja:
[matemáticas] y (t) \ a [/ matemáticas]
[matemáticas] c_ 1 \ displaystyle e ^ {\ displaystyle – \ frac {B t} {a}} – \ frac {- \ pi (-2 a A f Q + ABQ + 2 B \ text {Q0}) – i ABQ \ ln \ left (1 + e ^ {- 2 i \ pi ft} \ right) + i ABQ \ ln \ left (1 + e ^ {2 i \ pi ft} \ right)} {2 \ pi B ^ 2} [/ matemáticas]
También se puede ver que la suma general con infinito como límite superior da un resultado complejo complicado:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {(-1) ^ k \ sin (2 \ pi fkt)} {k} = [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {1} {2} i \ ln (i \ sin (2 \ pi ft) + \ cos (2 \ pi ft) + 1) – \ frac {1} {2} i \ ln \ left (\ sin ^ 2 (2 \ pi ft) – i \ sin (2 \ pi ft) + \ cos ^ 2 (2 \ pi ft) + \ cos (2 \ pi ft) \ right) [/ math]
Tratar de resolver la ecuación diferencial con [math] 50 [/ math] como el límite superior de la suma también produce un resultado valioso complejo, y usar el símbolo de FullSimplify [] Mathematica toma mucho tiempo para calcular un resultado.
Después de probar muchos límites superiores para la suma, el límite superior [matemática] 5 [/ matemática] dio una respuesta sin números complejos. Mecanografía :
Simplifique [DSolve [a * Derivado [1] [y] [t] + B * y [t] == Q * (A / 2 – (A / Pi) * Suma [(- 1) ^ k * (Sin [ 2 * Pi * k * f * t] / k), {k, 1, 5}]) + Q0, y [t], t]]
produce de hecho el siguiente resultado o salida:
Para la solución general de la ecuación diferencial con infinito como el límite superior de la suma, el resultado puede simplificarse algo escribiendo:
ComplexExpand [ExpToTrig [DSolve [a * Derivative [1] [y] [t] + B * y [t] == Q * (A / 2 – (A / Pi) * Sum [(- 1) ^ k * ( Sin [2 * Pi * k * f * t] / k), {k, 1, Infinito}]) + Q0, y [t], t]]]
Y la respuesta obtenida es:
donde [math] arg (z) [/ math] es el argumento del número complejo [math] z [/ math].
Mathematica no proporcionó una solución más simplificada sin números complejos, pero mi calculadora TI 92 Plus dio los siguientes dos resultados, que se verificaron con Mathematica:
En las relaciones anteriores,
[matemáticas] \ displaystyle (a) mod (b) = a \ bmod b = Mod [a, b] [/ matemáticas]
donde [math] Mod [a, b] [/ math] es la función de Mathematica que representa la operación del módulo.
Reemplazando las relaciones anteriores en la solución de la ecuación diferencial que contiene [math] arg [/ math],
y utilizando sucesivamente los símbolos de Mathematica Simplify [] y FullSimplify [], se obtiene la siguiente respuesta final general:
donde [math] \ displaystyle \ lceil ft \ rceil [/ math] representa el techo de la función Mathematica Ceiling [ft].
Espero que esta respuesta haya sido informativa y útil.