¿Cuál es la integral de [math] \ displaystyle \ int {\ dfrac {dP} {P \ sqrt {(P-p_2) p_2}}} [/ math]?

Answer 1

[matemáticas] \ displaystyle \ int {\ dfrac {1} {P \ sqrt {(P-p_2) p_2}}} dP [/ matemáticas]

Deje que [math] u = \ sqrt {P-p_2} \ implica P = u ^ 2 + p_2 [/ math]

[matemáticas] \ implica du = \ dfrac {1} {2 \ sqrt {P-p_2}} dP \ implica \ dfrac {1} {\ sqrt {P-p_2}} dP = 2du [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int {\ dfrac {1} {P \ sqrt {(P-p_2) p_2}}} dP = \ dfrac {1} {\ sqrt {p_2}} \ int {\ dfrac {2 du } {u ^ 2 + p_2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ dfrac {2} {\ sqrt {p_2}} \ int {\ dfrac {1 du} {u ^ 2 + (\ sqrt {p_2}) ^ 2}} [/ math]

Usando el hecho de que

[matemáticas] \ displaystyle \ int {\ dfrac {1} {x ^ 2 + a ^ 2}} dx = \ dfrac {1} {a} \ arctan \ left (\ dfrac {x} {a} \ right) + C [/ matemáticas]

obtenemos,

[matemáticas] = \ dfrac {2} {\ sqrt {p_2}} \ cdot \ dfrac {1} {\ sqrt {p_2}} \ arctan \ left (\ dfrac {u} {\ sqrt {p_2}} \ right) + C [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {2} {p_2} \ arctan \ left (\ sqrt {\ dfrac {P-p_2} {p_2}} \ right) + C [/ math]

Answer 2

Creo que hice esto antes. Para guardar la escritura, ponga p para p_2. Sea u = sqrt ((Pp) p). Entonces Pp = u ^ 2 / p y dP = 2u / p du.
Por lo tanto, debe integrar (2u / p) du / u (u ^ 2 / p + p) = (2du / p) / ((u / p) ^ 2 + 1). Esta es una función arctan. Para ver esto pon v = u / p. Entonces necesita integrar 2dv / (v ^ 2 + 1)