¿Cómo se ve el resultado de resolver numéricamente una ecuación diferencial parcial en múltiples dimensiones?

Answer 1

La solución de un PDE es una función de campo de dos o más variables independientes en un rango dado.

La solución se puede obtener mediante la integración usando una curva o superficie característica, y la integración de la ODE : la ecuación parabólica generalmente acepta esta solución.

Las ecuaciones elípticas sin diferenciación de Cinf (ecuación de Poisson en un cuadrado) requieren una solución numérica pero a veces analítica . La solución se puede obtener del Método de diferencia finita o Método de elementos finitos o ( mejor) Método espectral (elemento): típicamente solución de Fourier o Chebishev.

Cuando se conoce la solución, puede ser beneficiosa alguna propiedad integral de la solución: un ejemplo es la velocidad de flujo promedio del flujo empujado en una sección cuadrada sujeta a un gradiente de presión dado (solución de Poisson sobre un cuadrado: solo el método numérico da el factor de fricción sobre 56)

Answer 2

Uno puede resolver el problema de varias maneras. En hasta tres, o tal vez cuatro dimensiones, uno puede tener una cuadrícula (generalmente regular) de puntos en cada dimensión. Las derivadas contenidas en el operador de evolución se aproximan como cocientes de diferencia, utilizando los puntos de muestra. Esto conduce a una matriz de evolución que a menudo es escasa y en bandas. Este método funciona bien, pero el número de puntos en toda la cuadrícula es el producto del número de puntos en cada dimensión y, por lo tanto, aumenta exponencialmente con el número de dimensiones.

Otro enfoque que reduce el número de puntos, pero hace que la matriz sea menos dispersa y más compleja es el método de elementos finitos, en el que la función no se muestrea en una cuadrícula de puntos, sino que se aproxima mediante una combinación lineal de funciones básicas. . Los derivados están bien definidos en los elementos básicos, y el sistema se transforma en un sistema de EDO, calculando productos internos y evolucionando los coeficientes de los elementos básicos dependientes del tiempo. En este caso, dependiendo de cuán hábilmente elija los elementos base, puede obtener una reducción drástica en el número de grados de libertad del sistema, incluso en grandes dimensiones.