¿Cuál es la importancia de las ecuaciones diferenciales? Educación te da un futuro mejor

Las ecuaciones diferenciales involucran las derivadas de una función o un conjunto de funciones. Las leyes del mundo natural y físico generalmente se escriben y modelan en forma de ecuaciones diferenciales. Estas ecuaciones (ecuaciones diferenciales tanto ordinarias como parciales) surgen en el estudio de las tasas de cambio y de las cantidades o cosas que cambian. Desempeñan un papel importante en ciencias, matemáticas aplicadas, física, ingeniería, biología, economía …

Tomemos como ejemplo la segunda ley del movimiento de Newton expresada en su forma más común. Esta ecuación relaciona la fuerza con la aceleración. La aceleración es la derivada del tiempo de la velocidad, y la velocidad es la derivada del tiempo de la posición, por lo que la aceleración es la segunda derivada del tiempo de la posición:

[matemáticas] \ displaystyle F = ma = m \ frac {\ text {dv}} {\ text {dt}} = m \ frac {d ^ 2 x} {\ text {dt} ^ 2} [/ math]

Por lo tanto, la segunda ley de Newton se expresa como una ecuación diferencial de segundo orden que debe resolverse para la posición.

La ley de Newton tiene muchas aplicaciones. Se puede usar, por ejemplo, para determinar el movimiento de un péndulo simple (suponiendo pequeñas vibraciones y sin fuerzas de resistencia) derivando una ecuación diferencial de la forma:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d ^ 2 \ theta} {\ text {dt} ^ 2} + \ frac {g} {h} \ theta = 0 [/ math]

Para obtener más ejemplos de aplicaciones y usos de la segunda ley de movimiento de Newton, consulte los siguientes enlaces:

Aplicaciones de ecuaciones de segundo orden

Segunda ley del movimiento de Newton

Aquí hay más detalles y ejemplos relacionados con la importancia y las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales:

Por ejemplo, en la mecánica clásica, el movimiento de un cuerpo se describe por su posición y velocidad a medida que varía el valor del tiempo. Las leyes de Newton permiten (dada la posición, velocidad, aceleración y diversas fuerzas que actúan sobre el cuerpo) expresar estas variables dinámicamente como una ecuación diferencial para la posición desconocida del cuerpo en función del tiempo.

En algunos casos, esta ecuación diferencial (llamada ecuación de movimiento) puede resolverse explícitamente.

Un ejemplo de modelado de un problema del mundo real utilizando ecuaciones diferenciales es la determinación de la velocidad de una bola que cae por el aire, considerando solo la gravedad y la resistencia del aire. La aceleración de la pelota hacia el suelo es la aceleración debida a la gravedad menos la aceleración debida a la resistencia del aire.

La gravedad se considera constante, y la resistencia del aire puede modelarse como proporcional a la velocidad de la pelota. Esto significa que la aceleración de la pelota, que es una derivada de su velocidad, depende de la velocidad (y la velocidad depende del tiempo). Encontrar la velocidad en función del tiempo implica resolver una ecuación diferencial y verificar su validez.

Una ecuación diferencial parcial ( PDE ) es una ecuación diferencial que contiene funciones multivariables desconocidas y sus derivadas parciales. (Esto contrasta con las ecuaciones diferenciales ordinarias, que se ocupan de las funciones de una sola variable y sus derivadas). Las PDE se usan para formular problemas que involucran funciones de varias variables y se resuelven en forma cerrada o se usan para crear una computadora relevante modelo.

Las PDE se pueden usar para describir una amplia variedad de fenómenos como el sonido, el calor, la electrostática, la electrodinámica, el flujo de fluidos, la elasticidad o la mecánica cuántica. Estos fenómenos físicos aparentemente distintos se pueden formalizar de manera similar en términos de PDE. Así como las ecuaciones diferenciales ordinarias a menudo modelan sistemas dinámicos unidimensionales, las ecuaciones diferenciales parciales a menudo modelan sistemas multidimensionales. Las PDE encuentran su generalización en ecuaciones diferenciales parciales estocásticas.

Ejemplos

[…]

Ecuación homogénea de coeficiente constante lineal de segundo orden, ecuación diferencial parcial de tipo elíptico, la ecuación de Laplace:

[matemáticas] {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}} } = 0.} [/ Matemáticas]

Ecuación diferencial parcial no lineal de tercer orden, la ecuación de Korteweg – de Vries:

[matemáticas] {\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} = 6u {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} – {\ frac {\ partial ^ {3} u} { \ parcial x ^ {3}}}.} [/ matemáticas]

Aplicaciones

El estudio de ecuaciones diferenciales es un campo amplio en matemática pura y aplicada, física e ingeniería. Todas estas disciplinas están relacionadas con las propiedades de las ecuaciones diferenciales de varios tipos. La matemática pura se centra en la existencia y la unicidad de las soluciones, mientras que la matemática aplicada enfatiza la justificación rigurosa de los métodos para aproximar las soluciones. Las ecuaciones diferenciales juegan un papel importante en el modelado de prácticamente todos los procesos físicos, técnicos o biológicos, desde el movimiento celeste hasta el diseño de puentes y las interacciones entre neuronas. Las ecuaciones diferenciales, como las que se utilizan para resolver problemas de la vida real, no necesariamente pueden resolverse directamente, es decir, no tienen soluciones de forma cerrada. En cambio, las soluciones se pueden aproximar utilizando métodos numéricos.

Muchas leyes fundamentales de la física y la química pueden formularse como ecuaciones diferenciales. En biología y economía, las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar el comportamiento de sistemas complejos. La teoría matemática de las ecuaciones diferenciales se desarrolló por primera vez junto con las ciencias donde se originaron las ecuaciones y donde los resultados encontraron aplicación. Sin embargo, diversos problemas, a veces originados en campos científicos bastante distintos, pueden dar lugar a ecuaciones diferenciales idénticas. Cuando esto sucede, la teoría matemática detrás de las ecuaciones puede verse como un principio unificador detrás de diversos fenómenos. Como ejemplo, considere la propagación de la luz y el sonido en la atmósfera, y de las olas en la superficie de un estanque. Todos ellos pueden describirse mediante la misma ecuación diferencial parcial de segundo orden, la ecuación de onda, que nos permite pensar en la luz y el sonido como formas de ondas, muy parecidas a las ondas familiares en el agua. La conducción del calor, cuya teoría fue desarrollada por Joseph Fourier, se rige por otra ecuación diferencial parcial de segundo orden, la ecuación del calor. Resulta que muchos procesos de difusión, aunque aparentemente diferentes, se describen con la misma ecuación; La ecuación de Black-Scholes en finanzas está, por ejemplo, relacionada con la ecuación del calor.

Física

Ecuación de Euler-Lagrange en mecánica clásica

Ecuaciones de Hamilton en mecánica clásica.

Desintegración radiactiva en física nuclear

Ley de Newton de enfriamiento en termodinámica

La ecuación de onda

La ecuación del calor en termodinámica.

La ecuación de Laplace, que define funciones armónicas.

Ecuación de Poisson

La ecuación geodésica

Las ecuaciones de Navier-Stokes en dinámica de fluidos

La ecuación de difusión en procesos estocásticos.

La ecuación de convección-difusión en dinámica de fluidos

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann en análisis complejo

La ecuación de Poisson-Boltzmann en dinámica molecular

Las ecuaciones de aguas poco profundas

Ecuación diferencial universal

Las ecuaciones de Lorenz cuyas soluciones exhiben flujo caótico.

[…]

Electrodinámica

Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales que, junto con la ley de fuerza de Lorentz, forman la base de la electrodinámica clásica, la óptica clásica y los circuitos eléctricos. Estos campos a su vez subyacen a las modernas tecnologías eléctricas y de comunicaciones. Las ecuaciones de Maxwell describen cómo los campos eléctricos y magnéticos son generados y alterados entre sí y por cargas y corrientes. Ellos llevan el nombre del físico y matemático escocés James Clerk Maxwell, quien publicó una forma temprana de esas ecuaciones entre 1861 y 1862.

Relatividad general

Las ecuaciones de campo de Einstein (EFE; también conocidas como “ecuaciones de Einstein”) son un conjunto de diez ecuaciones diferenciales parciales en la teoría general de la relatividad de Albert Einstein que describen la interacción fundamental de la gravitación como resultado del espacio-tiempo curvado por la materia y la energía.

Publicado por primera vez por Einstein en 1915 como una ecuación tensorial, el EFE equipara la curvatura local del espacio-tiempo (expresada por el tensor de Einstein) con la energía local y el momento dentro de ese espacio-tiempo (expresado por el tensor de tensión-energía).

Mecánica cuántica

En mecánica cuántica, el análogo de la ley de Newton es la ecuación de Schrödinger (una ecuación diferencial parcial) para un sistema cuántico (generalmente átomos, moléculas y partículas subatómicas, ya sean libres, unidas o localizadas). No es una ecuación algebraica simple, sino en general una ecuación diferencial parcial lineal, que describe la evolución temporal de la función de onda del sistema (también llamada “función de estado”).

Biología

Ecuación de Verhulst – crecimiento biológico de la población

Modelo von Bertalanffy – crecimiento biológico individual

Dinámica del replicador: se encuentra en biología teórica

Modelo de Hodgkin-Huxley: potenciales de acción neuronal

Ecuaciones depredador-presa

Las ecuaciones de Lotka-Volterra, también conocidas como ecuaciones depredador-presa, son un par de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden que se utilizan con frecuencia para describir la dinámica de los sistemas biológicos en los que dos especies interactúan, una como depredador y la otra. como presa

Química

La ley de velocidad o ecuación de velocidad para una reacción química es una ecuación diferencial que vincula la velocidad de reacción con concentraciones o presiones de reactivos y parámetros constantes (normalmente coeficientes de velocidad y órdenes de reacción parciales).

Para determinar la ecuación de velocidad para un sistema particular, uno combina la velocidad de reacción con un balance de masa para el sistema.

Ciencias económicas

La ecuación clave del modelo Solow-Swan es [matemática] {\ displaystyle {\ frac {\ partial k (t)} {\ partial t}} = s [k (t)] ^ {\ alpha} – \ delta k (t)} [/ matemáticas]

El PDE de Black – Scholes

Modelo de crecimiento maltusiano

El modelo publicitario de Vidale – Wolfe

Fuente: ecuación diferencial

Y aquí hay un enlace a un artículo instructivo sobre la necesidad de estudiar y usar ecuaciones diferenciales:

http://www1.maths.leeds.ac.uk/~a…