Mi ejemplo es del flujo de fluidos.
Hay muchos ejemplos en Física.
Las ecuaciones diferenciales son principalmente útiles en situaciones de modelado cuando dos cantidades se afectan dinámicamente entre sí.
Tomaría un poco de agua en un vaso de precipitados y perforaría un agujero en el fondo. Mira el diagrama a continuación.
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La profundidad del agua hasta el hoyo se indicará con h.
Problema: ¿Después de qué tiempo la profundidad alcanzará un valor arbitrario h?
Suponga que la sección transversal del agujero es a.
La sección transversal del vaso es A.
La altura inicial es z.
Solución:
De acuerdo con la ley de flujo de fluido de Torricelli desde un contenedor, la velocidad del chorro de agua en función de la altura del agua se da como [matemática] v (h) = \ sqrt {2gh} [/ matemática]
Cuando parte del agua sale del vaso de precipitados, la profundidad del agua sobre el agujero disminuye.
Esto a su vez da como resultado una velocidad de flujo disminuida y, en consecuencia, la profundidad disminuye en una cantidad menor en un período de tiempo determinado, como nos dice la ley de Torricelli .
Ahora en el tiempo [math] dt [/ math] el volumen que sale es [math] dV = A \ space dh = – a \ space v dt [/ math]
La igualdad se deriva de la conservación del volumen. El signo menos se debe a que el cambio de altura es negativo.
[matemáticas] \ implica A \ space dh = – a \ space \ sqrt {2gh} \ space dt [/ math]
[matemáticas] \ implica \ frac {A dh} \ space {\ sqrt {2g} a \ sqrt {h}} = -dt [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica \ frac {A} {\ sqrt {2g} a} \ times \ int \ frac {dh} {\ sqrt {h}} = – \ int dt + C [/ math]
O la solución de nuestra ecuación diferencial es:
[matemáticas] \ frac {A} {a} \ cdot \ sqrt {\ frac {2h} {g}} = -t + C [/ matemáticas]
En t = 0 la altura es z.
Poniendo las condiciones iniciales que obtenemos
[matemáticas] C = \ frac {A} {a} \ cdot \ sqrt {\ frac {2z} {g}} [/ matemáticas]
O el momento en que se alcanza una profundidad de [matemáticas] h [/ matemáticas] será
[matemáticas] t = \ frac {A} {a} \ sqrt {\ frac {2} {g}} (\ sqrt {z} – \ sqrt {h}) [/ matemáticas]
Puede encontrar tantas aplicaciones de ecuaciones diferenciales en Física.
Esta fue fácil.
Imagen: Neutrium
Editado por mí.
Gracias.