Ecuaciones diferenciales parciales: ¿cuáles son excelentes ejemplos y sus implicaciones?

Answer 1

Desafortunadamente, las técnicas analíticas como la transformada de Fourier funcionan mejor en PDE lineales de coeficiente constante, y solo hay ejemplos limitados de tales PDE en aplicaciones (ecuaciones de onda, calor y potenciales). Puede encontrar esos ejemplos básicos disfrazados de maneras interesantes en los libros de texto, pero al final son casi lo mismo.

La ecuación de Schrodinger en mecánica cuántica es probablemente la variación más interesante de lo anterior. Por supuesto, hay literatura masiva sobre ese tema. Existen ecuaciones QM que modelan la unión básica de semiconductores, por ejemplo, que es una aplicación fundamental para las nuevas tecnologías.

Lo realmente interesante en las PDE está relacionado con ecuaciones no lineales (muy difíciles de trabajar, particularmente analíticamente) y PDE con coeficientes no constantes. Para ejemplos en esas categorías, miraría la óptica geométrica (Hamilton; descomposición en ecuaciones de transporte y difusión) y la transformación de problemas en (varias) variables complejas en PDEs, como solo dos ejemplos.

Answer 2

Como ingeniero, el mejor ejemplo que puedo recordar es la ecuación de onda clásica de D ‘Alembert. Describe la propagación de una onda en un medio material. Es esencialmente un concepto de campo clásico, que puede extenderse aún más a los campos electromagnéticos y también puede usarse para derivar la ecuación de Schrödinger, la ecuación de gobierno en mecánica cuántica, otra ecuación diferencial parcial. En electromagnetismo, las cuatro ecuaciones de propagación de ondas del famoso Maxwell son nuevamente PDE, que establecen el comportamiento de una onda electromagnética mientras se propaga a través de diversos medios.
La ecuación de Laplace, que nuevamente es una PDE, es de suma importancia en las ciencias físicas y matemáticas, que se utiliza ampliamente en el análisis armónico y en la teoría del campo electromagnético (para determinar los potenciales escalares electrostáticos y magnetostáticos). También hay muchos otros ejemplos.

Answer 3

¿Has oído hablar de PDEs estocásticos? Mira este enlace wiki: ecuación diferencial estocástica

Cabe destacar que un ejemplo que da es la ecuación para el movimiento browniano geométrico:

Que se utiliza para modelar los precios de las acciones en el “modelo de precios de opciones Black-Scholes”. La ecuación de Black-Scholes en sí

explica el cambio de precios en el estilo de opciones europeo.

Quizás algo más para ver y leer son Martingales.

Aquí hay un pdf genial que encontré hace un momento:

http://www.cims.nyu.edu/~almgren …

Answer 4

¿Qué pasa con la ecuación de Fisher?

[matemáticas] \ frac {\ partial u} {\ partial t} = u (1-u) + \ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}} [/ matemáticas]

O las ecuaciones de Fitzhugh-Nagumo:

[matemáticas] \ begin {ecuación}
\ frac {\ partial u} {\ partial t} = \ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}} + u (ua) (1-u) + w \\
\ frac {\ partial w} {\ partial t} = \ epsilon u
\ end {ecuación} [/ matemáticas]
La ecuación de Fisher aparece en la propagación de genes y Fitzhugh-Nagumo en el modelado biológico de neuronas.