Cómo resolver esta ecuación diferencial [matemáticas] v ^ {(4)} (x) – \ lambda v (x) = 0, x \ in (0,1)

Answer 1

Comience asumiendo la estructura de una solución de prueba. Considerar
[matemáticas] v = e ^ {\ alpha x} [/ matemáticas]
Sustituya esto en la ecuación y obtenemos
[matemáticas] \ alpha ^ {4} e ^ {\ alpha x} – \ lambda e ^ {\ alpha x} = 0 e ^ {\ alpha x} (\ alpha ^ {4} – \ lambda) = 0 [/ matemáticas]
A partir de esto, al darnos cuenta de que el exponencial no tiene ceros y escribir [math] \ lambda = \ omega ^ {4} [/ math], tenemos que

[matemáticas] \ alpha ^ {4} – \ omega ^ {4} = 0 \ implica (\ alpha ^ {2} – \ omega ^ {2}) (\ alpha ^ {2} + \ omega ^ {2}) = 0 [/ matemáticas]

Las raíces de las cuales son [math] \ alpha = \ pm \ omega [/ math] y [math] \ alpha = \ pm \ omega i [/ math]. Desde el primer par de raíces esto significa que tanto [math] e ^ {\ omega x} [/ math] como [math] e ^ {- \ omega x} [/ math] son ​​soluciones de la ODE, pero también lo es su combinación lineal

[matemáticas] Ae ^ {\ omega x} + Be ^ {- \ omega x} [/ matemáticas]

Del segundo par de raíces imaginarias tenemos

[matemáticas] C \ cos (\ omega x) + D \ sin (\ omega x) [/ matemáticas]

como solución, combinando ambos, llegamos a la solución general para la ecuación

[matemáticas] v (x) = Ae ^ {\ omega x} + Be ^ {- \ omega x} + C \ cos (\ omega x) + D \ sin (\ omega x) [/ math]
donde A, B, C y D son constantes arbitrarias y [math] \ omega = \ lambda ^ {1/4} [/ math].

Answer 2

Desafortunadamente, no puede usar Laplace sin encontrar las condiciones de contorno de [math] v ‘(0) [/ math] y [math] v ^ {(3)} (0) [/ math]. Como se indicó en el problema, tiene que [math] v (1) = 0 [/ math] y [math] v “(1) = 0 [/ math]. Esa podría ser la razón por la que tiene problemas para encontrar la transformación inversa , lo cual sería incorrecto para la ecuación y las condiciones que le dieron. Puede resolverlo encontrando las raíces de la ecuación indicial y aplicando las condiciones de contorno como se indica.

Answer 3

La transformación de Laplace funciona solo en el intervalo semi-infinito de 0 a infinito, no en el intervalo finito de 0 a 1.

Debe asumir una solución de la forma exp (\ mu x) y resolver los cuatro valores posibles de \ mu, que pueden ser complejos. Esto proporciona su solución como una combinación lineal de cuatro términos con coeficientes desconocidos, en principio parámetros suficientes para satisfacer las cuatro condiciones de contorno.