La ecuación diferencial en la pregunta (o en cuestión ) se encuentra en problemas relacionados con la física y las matemáticas del movimiento pendular. De hecho, la ecuación de movimiento de un péndulo simple (si no se suponen pequeñas vibraciones) viene dada por:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d ^ 2 \ theta} {dt ^ 2} = – \ frac {g \ sin (\ theta)} {l} [/ math]
donde [math] g [/ math] es la aceleración debido a la gravedad, [math] l [/ math] es la longitud del péndulo y [math] \ theta [/ math] es el desplazamiento angular.
La ecuación diferencial anterior se puede hacer similar a la dada en la pregunta si está escrita como:
- ¿Cuándo no es aplicable la ecuación de Bernoulli?
- ¿Cuál es la diferencia entre una ecuación diferencial y una derivada?
- ¿Cuál es la ecuación de solución general de la ecuación diferencial [matemáticas] {(xy ^ 3 + x ^ 2y ^ 7)} \ dfrac {dy} {dx} = 1 [/ matemáticas]?
- Cómo resolver esta ecuación diferencial [matemáticas] v ^ {(4)} (x) – \ lambda v (x) = 0, x \ in (0,1)
- Ecuaciones diferenciales parciales: ¿cuáles son excelentes ejemplos y sus implicaciones?
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d ^ 2 \ theta} {dt ^ 2} = \ sin (\ theta) [/ math]
Para resolver esta ecuación diferencial, deje que [math] \ displaystyle \ frac {d \ theta} {dt} = u [/ math]
Después de sustituir e integrar obtenemos:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {u ^ 2} {2} = – \ cos (\ theta) + c [/ matemáticas]
Usando condiciones iniciales obtenemos:
[matemáticas] \ displaystyle u ^ 2 = 2 \ left (\ cos \ left (\ theta _ 0 \ right) – \ cos (\ theta) \ right) [/ math]
Y:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d \ theta} {dt} = \ pm \ sqrt {2 \ left (\ cos \ left (\ theta _ 0 \ right) – \ cos (\ theta) \ right)} [/ matemáticas]
Después de usar sustituciones trigonométricas y tomar en cuenta ciertos supuestos y condiciones iniciales, la solución para [math] t [/ math] (y para el período del péndulo que está relacionado con [math] t [/ math]) se obtiene como función de una integral elíptica del primer tipo.
Para más detalles ver también el artículo de Wikipedia Pendulum (matemáticas).
Presento a continuación la solución general de la ecuación diferencial dada en la pregunta sin condiciones iniciales, obtenida con la ayuda de Wolfram Alpha.
Primero daré algunas explicaciones relacionadas con la respuesta a continuación. La solución se da en función de la amplitud de Jacobi, que es la inversa de la integral elíptica del primer tipo:
[matemáticas] \ displaystyle F (\ phi | m) = \ int _ 0 ^ {\ phi} \ frac {1} {\ sqrt {1 – m \ left (\ sin ^ 2 (\ theta) \ right)}} d \ theta [/ math]
Si [math] \ displaystyle u = F (\ phi | m) [/ math], entonces la amplitud de Jacobi viene dada por:
[matemáticas] \ displaystyle \ phi = \ text {am} (u | m) [/ math]
Aquí está la solución detallada a la ecuación diferencial dada en la pregunta: