La ecuación dada es una ecuación diferencial ordinaria no lineal de primer orden.
Aquí hay pasos para resolverlo.
La ecuación diferencial se puede escribir como
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {dy (x)} {dx} = \ frac {1} {x \ left (xy (x) ^ 4 + 1 \ right) y (x) ^ 3} [/ math]
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Uso de [math] \ displaystyle \ frac {dy} {dx} \ frac {dx} {dy} = 1 [/ math]
En términos de [matemáticas] x [/ matemáticas] la ecuación se puede expresar como
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {\ frac {dx (y)} {dy}} = \ frac {1} {y ^ 3 \ left (y ^ 4 x (y) +1 \ right) x ( y)} [/ matemáticas]
o también:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {dx (y)} {dy} = y ^ 7 x (y) ^ 2 + y ^ 3 x (y) [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {dx (y)} {dy} -y ^ 3 x (y) = y ^ 7 x (y) ^ 2 [/ matemáticas]
Dividiendo por [matemáticas] -x (y) ^ 2 [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ displaystyle – \ frac {\ frac {dx (y)} {dy}} {x (y) ^ 2} + \ frac {y ^ 3} {x (y)} = – y ^ 7 [/ matemáticas]
Tomando [matemáticas] \ displaystyle s (y) = \ frac {1} {x (y)} [/ matemáticas]
[matemática] \ displaystyle \ frac {ds (y)} {dy} = – \ frac {\ frac {dx (y)} {dy}} {x (y) ^ 2} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle y ^ 3 s (y) + \ frac {ds (y)} {dy} = – y ^ 7 [/ matemáticas]
Tomando [matemáticas] \ displaystyle u (y) = e ^ {\ int y ^ 3 \, dy} = e ^ {\ frac {y ^ 4} {4}} [/ math]
Multiplicar ambos lados de las ecuaciones por [matemáticas] u (y) [/ matemáticas] y sustituir [matemáticas] \ displaystyle \ frac {d} {dy} \ left (e ^ {\ frac {y ^ 4} {4}} \ right) = e ^ {\ frac {y ^ 4} {4}} y ^ 3 [/ math], obtenemos:
[matemáticas] \ displaystyle e ^ {\ frac {y ^ 4} {4}} \ frac {ds (y)} {dy} + s (y) \ frac {d} {dy} \ left (e ^ {\ frac {y ^ 4} {4}} \ right) = -e ^ {\ frac {y ^ 4} {4}} y ^ 7 [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d} {dy} \ left (e ^ {\ frac {y ^ 4} {4}} s (y) \ right) = -e ^ {\ frac {y ^ 4} { 4}} y ^ 7 [/ matemáticas]
Integrando ambos lados wrt [math] y [/ math] y evaluando:
[matemáticas] \ displaystyle e ^ {\ frac {y ^ 4} {4}} s (y) = – e ^ {\ frac {y ^ 4} {4}} \ left (y ^ 4-4 \ right) + c [/ matemáticas]
o
[matemáticas] \ displaystyle s (y) = ce ^ {- \ frac {y ^ 4} {4}} – y ^ 4 + 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle x (y) = \ frac {1} {s (y)} = – \ frac {e ^ {\ frac {y ^ 4} {4}}} {e ^ {\ frac {y ^ 4} {4}} \ left (y ^ 4-4 \ right) -c} [/ math]
Resolviendo para [math] y [/ math] obtenemos las siguientes soluciones:
[matemáticas] \ displaystyle \ color {rojo} {y (x) = \ pm \ frac {\ sqrt [4] {4 x W \ left (\ frac {1} {4} ce ^ {\ frac {1} { 4 x} -1} \ right) +4 x-1}} {\ sqrt [4] {x}}} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ color {rojo} {y (x) = \ pm \ frac {i \ times \ sqrt [4] {4 x W \ left (\ frac {1} {4} ce ^ {\ frac { 1} {4 x} -1} \ right) +4 x-1}} {\ sqrt [4] {x}}} [/ math]
[math] W (z) [/ math] es la función Lambert W o la función de registro del producto.
La ecuación diferencial se puede resolver y las soluciones generales anteriores se pueden encontrar con Mathematica escribiendo el código:
DSolve [(xy [x] ^ 3 + x ^ 2 y [x] ^ 7) y ‘[x] == 1, y [x], x]