¿Cuál es la diferencia entre una ecuación diferencial y una derivada?

Answer 1

Una derivada es un operador que actúa sobre funciones y devuelve otra función. Esta nueva función es la tasa de cambio de la primera. Aprende a calcular derivadas de funciones en una clase de cálculo.

Una ecuación diferencial es una ecuación compuesta de operadores diferenciales. La solución a una ecuación diferencial es una función. Entonces, al igual que en álgebra, usas la aritmética como una herramienta para resolver lo desconocido, en una ecuación diferencial usas el cálculo como una herramienta para resolver lo desconocido.

Aquí hay unos ejemplos

[matemáticas] f ‘- \ cos (x) = 0 [/ matemáticas]

Esta es una ecuación diferencial. La derivada de f restando alguna otra función es cero. Esta ecuación diferencial se resuelve mediante el cálculo. Reescribiendo como

[matemáticas] f ‘= \ cos (x) [/ matemáticas]

y luego integrando ambos lados obtienes

[matemáticas] f = \ sin (x) + C [/ matemáticas]

Este tipo de ecuación diferencial donde reorganiza las piezas e integra es una de las ecuaciones diferenciales más simples de resolver. Estas se conocen como ecuaciones separables.

Ahora por algo más divertido. Aquí hay una ecuación diferencial ordinaria homogénea lineal.

[matemáticas] f ” + 5f ‘+ 6f = 0 [/ matemáticas]

Esta ecuación diferencial tiene un término con una segunda derivada, otra con una primera derivada y la función misma. Este se resuelve sabiendo que la función exponencial es la función especial (función propia) de la derivada. Es su propia derivada

Esa es la solución a la DE [matemática] f ‘= \ lambda f [/ matemática] es [matemática] f (x) = e ^ {\ lambda x} [/ matemática].

Entonces, para resolver esa ecuación homogénea, usamos el hecho de que [math] f [/ math] puede escribirse como exponencial, por lo que cada derivada genera una constante y resuelve la ecuación característica.

[matemáticas] (\ lambda ^ 2 + 5 \ lambda + 6) f = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow \ lambda ^ 2 + 5 \ lambda + 6 = 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ Rightarrow (\ lambda + 3) (\ lambda + 2) = 0 [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ lambda = -3, -2 [/ math]

[math] \ Rightarrow f (x) = C_1 e ^ {- 3x} + C_2 e ^ {- 2x} [/ math]

La solución general de la ecuación diferencial es cualquier función que sea una combinación lineal de estas dos funciones de disminución exponencial.

Las ecuaciones diferenciales son el lenguaje de la física. Como ejemplo, piense en el resorte sin fricción.

La segunda ley de Newton dice que la fuerza es masa por aceleración

[matemáticas] F = m \ frac {d ^ 2 x} {dt ^ 2} [/ matemáticas]

La ley de Hooke para los resortes nos da que un resorte quiere estar en un estado neutral. La fuerza está en la dirección del estado neutral.

[matemáticas] F = -kx [/ matemáticas]

Júntelos y obtendrá el DE para el movimiento de un resorte

[matemáticas] \ frac {d ^ 2 x} {dt ^ 2} + \ frac {k} {m} x = 0 [/ matemáticas]

Por el mismo tipo de método anterior

[matemáticas] \ lambda ^ 2 + \ frac {k} {m} = 0 [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ lambda = \ pm \ sqrt {\ frac {k} {m}} i [/ math]

[matemáticas] x (t) = C_1 \ cos (\ sqrt {\ frac {k} {m}} t) + C_2 \ sin (\ sqrt {\ frac {k} {m}} t) [/ matemáticas]

Que es una ola. Si saca el resorte y lo suelta, oscilará.

Hay todo tipo de ecuaciones diferenciales, cada una con sus propios métodos de resolución.

Answer 2

Conceptualmente, y en resumen, es (casi) lo mismo que la diferencia entre un número y un ecuación polinómica El ejemplo comparativo sigue …

• ¿Cuáles son los valores de [matemática] x [/ matemática] que satisfacen la ecuación polinómica [matemática] x ^ 2-5x + 6 = 0 [/ matemática]? Responda [matemáticas] x_1 = 2 [/ matemáticas] o [matemáticas] x_2 = 3 [/ matemáticas]. Estas son las raíces de la ecuación. Tenga en cuenta que, en un caso más general, la ecuación implica una combinación lineal de la variable [math] x [/ math] y sus poderes [math] x ^ p [/ math].

Ahora, al ejemplo de la ecuación derivada y diferencial …

• ¿Cuáles son las funciones [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] que satisfacen la ecuación diferencial [matemáticas] f ” (x) -5f ‘(x) + 6f (x) = 0 [/ matemáticas]? Responda [math] f_1 (x) = e ^ {2x} [/ math] y [math] f_2 (x) = e ^ {3x} [/ math] y cualquier combinación lineal de ellos, [math] f (x) = \ alpha_1 f_1 (x) + \ alpha_2 f_2 (x) [/ math], donde [math] \ alpha_1 [/ math] y [math] \ alpha_2 [/ math] son ​​constantes reales o complejas. Tenga en cuenta que, en un caso general, la ecuación diferencial involucra la función [matemática] f (x) [/ matemática] y sus derivadas [matemática] f ^ {(p)} (x) [/ matemática]. La función [matemática] f (x) [/ matemática] puede verse como una derivada de orden cero.

Este ejemplo es una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes , la más estudiada (y, quizás, útil) entre todos los tipos de ecuaciones diferenciales. Pero hay muchas más ecuaciones diferenciales prácticas, no lineales, con derivadas parciales, estocásticas, etc.

Para concluir, la esencia de la respuesta está contenida en el ejemplo anterior. Si un número [matemático] x [/ matemático] es la solución de una ecuación polinómica que lo involucra y sus poderes, una función [matemática] f (x) [/ matemático] es la solución de una ecuación diferencial que lo involucra a él y a sus derivados.

Answer 3

La derivada es solo la pendiente de una línea tangente a una función en un punto dado.

Derivado

Una ecuación diferencial es una ecuación matemática para una función desconocida de una o varias variables que relaciona los valores de la función misma y sus derivadas de varios órdenes, por ejemplo, primera derivada, segunda derivada,. . . . El desafío es encontrar la función.

Ecuación diferencial