Reescribimos la ecuación dada como
[matemática] \ grande \ frac {dx} {dy} -xy ^ 3 = x ^ 2y ^ 7 \ grande [/ matemática]
[matemática] \ grande \ implica \ frac {1} {x ^ 2} \ frac {dx} {dy} – \ frac {1} {x} y ^ 3 = y ^ 7 \ grande [/ matemática]… (i )
Sustituya [math] \ large \ frac {1} {x} = u \ large [/ math] para que [math] \ large \ frac {1} {x ^ 2} \ frac {dx} {dy} = – \ frac {du} {dy} \ large [/ math]
- Cómo resolver [math] y ” = \ sin y [/ math]
- ¿Cuándo no es aplicable la ecuación de Bernoulli?
- ¿Cuál es la diferencia entre una ecuación diferencial y una derivada?
- ¿Cuál es la ecuación de solución general de la ecuación diferencial [matemáticas] {(xy ^ 3 + x ^ 2y ^ 7)} \ dfrac {dy} {dx} = 1 [/ matemáticas]?
- Cómo resolver esta ecuación diferencial [matemáticas] v ^ {(4)} (x) – \ lambda v (x) = 0, x \ in (0,1)
Entonces, de (i) obtenemos [math] \ large \ frac {du} {dy} + uy ^ 3 = -y ^ 7 \ large [/ math] … (ii), que es lineal en [math] u [/ matemáticas] wrt [matemáticas] y [/ matemáticas]
Factor integrador (IF) [matemática] = \ grande e ^ {\ int y ^ 3 \, dy} = e ^ {\ frac {y ^ 4} {4}} \ grande [/ matemática]
Multiplicando ambos lados de (ii) por SI obtenemos,
[matemática] \ large ue ^ {\ frac {y ^ 4} {4}} = – \ int e ^ {\ frac {y ^ 4} {4}} y ^ 7 \, dy \ large [/ math]
[matemática] \ grande = -4 \ int e ^ tt \, dt \ grande [/ matemática] [matemática] [[/ matemática] Sustituyendo [matemática] \ grande \ frac {y ^ 4} {4} = t \ grande ][/matemáticas]
[matemática] \ grande = -4 (te ^ te ^ t) + c = -4e ^ {\ frac {y ^ 4} {4}} (\ frac {y ^ 4} {4} -1) + c \ grande [/ matemáticas]
[matemáticas] \ grande \ implica \ frac {1} {x} e ^ {\ frac {y ^ 4} {4}} = 4e ^ {\ frac {y ^ 4} {4}} (1- \ frac { y ^ 4} {4}) + c \ large [/ math]… (iii)
Ahora dado que [matemáticas] y = 1 [/ matemáticas] cuando [matemáticas] x = \ frac {1} {4} [/ matemáticas]
Entonces, poniendo el valor de [math] y [/ math] y [math] x [/ math] en (iii) obtenemos [math] \ large c = \ frac {1} {4} \ large [/ math]
Por lo tanto, la solución particular de la DE dada es [matemáticas] \ large \ frac {1} {x} e ^ {\ frac {y ^ 4} {4}} = 4e ^ {\ frac {y ^ 4} {4} } (1- \ frac {y ^ 4} {4}) + \ frac {1} {4} \ large [/ math]… ([math] * [/ math])
Nuevamente, cuando [math] y = -1 [/ math] el valor correspondiente de [math] x [/ math] sigue siendo [math] \ large \ frac {1} {4} \ large [/ math]
De la ecuación original, [math] \ large \ frac {dy} {dx} = \ frac {1} {xy ^ 3 + x ^ 2y ^ 7} \ large [/ math]
Por lo tanto, [math] \ large \ frac {dy} {dx} \ big | _ {(\ frac {1} {4}, – 1)} = – \ frac {16} {5} \ large [/ math]
Editar : Gracias a anónimo por señalar mi error.