Esta es una pregunta muy, muy general, pero supongo que quiere libros que le presenten la Prueba de escritura y que le den una idea general de Matemática avanzada, pero fundamental . Desea algunos libros que realmente sientan bases sólidas para los temas centrales de las matemáticas: álgebra, análisis y teoría de números . Casi todo lo que estudie después de esto, sería un spin-off basado en estos, lo que llevaría a nuevos campos: Geometría Algebraica, Geometría Diferencial, Topología, Teoría de Gráficos, etc. Si esto es realmente lo que espera, le daré un respuesta basada en cómo creo que las matemáticas están estructuradas y cuál es una buena forma de aprender dada esta estructura.
Nota: Podría decirse que temas como la teoría de modelos, la lógica matemática y la teoría de conjuntos son aún más fundamentales que los temas mencionados anteriormente. Pero, entonces, esto lo llevará al borde del límite entre las Matemáticas y las Meta-Matemáticas (Lea sobre el papel de Hilbert en la diferenciación de los dos). También puedo dar algunos libros sobre esos temas, pero ese no es el plato principal, por así decirlo, que debes seguir aquí. La mayoría de los planes de estudio introducirán la Prueba de Escritura, pero dejarán que sea completamente voluntario profundizar en estos temas (con la excepción de Set Theory, supongo, que sería necesario).
Aquí están mis libros basados en mi comprensión de su pregunta, y en el hecho de que estas son algunas de las cosas que todas las especialidades en Matemáticas deben saber y que deben tomar en la mayoría de los planes de estudios de pregrado. Lo que haces además, incluido el posible estudio intensivo de la lógica matemática, puede considerarse una vista del gusto. Mis opiniones personales no deberían importar. Entonces, aquí está el típico camino aceptado, con quizás algunas de mis observaciones:
1) Finalice el cálculo AP : ahí es donde supongo que comenzará. Este es el Paso 1. Aquí es donde comienza. Las verdaderas matemáticas comienzan después de esto.
- ¿Cuáles son las ecuaciones creadas por Ramanujan que cambió el mundo de las matemáticas?
- ¿Qué recursos puedo usar para aprender a resolver ecuaciones diferenciales con una comprensión básica del cálculo?
- ¿El uso de [math] \ pi [/ math] en una ecuación geométrica significa, en realidad, que el resultado de esa ecuación es, de alguna manera, inexacto?
- Cómo resolver la ecuación diferencial [matemáticas] y ” + y = \ cos ^ 2 x [/ matemáticas]
- [matemáticas] (f (x)) ^ 2 + (f ‘(x)) ^ 2 = 1. [/ matemáticas] ¿Cómo se prueba que [matemáticas] f (x) = \ sen x [/ matemáticas]?
2) Introducción a la escritura de pruebas + Pensamiento matemático : Pensamiento matemático: resolución de problemas y pruebas (2ª edición): John P. D’Angelo, Douglas B. West: 9780130144126: Amazon.com: Libros – Buena introducción a los conceptos básicos de Matemáticas a través de Matemáticas continuas y discretas. Introducción a la redacción de pruebas. Riguroso, pero accesible. Asumiré que has hecho un curso fundamental de Cálculo antes de esto. Este libro, como dice, le enseñará cómo razonar en matemáticas, qué técnicas se usan comúnmente en las pruebas y el arte de resolver preguntas que no son solo sustituciones en fórmulas integrales o de diferenciación. Esta es una introducción a la matemática ‘real’ (o pensamiento matemático).
Ahora es el momento de las dos grandes armas de las matemáticas fundamentales, que conducen a la incursión en varios subcampos.
3) Análisis real : Amazon.com: Introducción al análisis real (9780471433316): Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert: Libros
4) Álgebra abstracta : Un libro de álgebra abstracta: Segunda edición (Dover Books on Mathematics): Charles C Pinter: 9780486474175: Amazon.com: Libros
Estos son considerados los dos cursos más fundamentales y fundamentales en matemáticas, esencialmente porque sientan las bases para muchos otros cursos. Utilice el análisis para la teoría de la probabilidad, PDE, ecualización diferencial, análisis complejo, teoría del caos, etc. Utilice el álgebra para álgebra lineal, topología, geometría algebraica, teoría de grafos, combinatoria, teoría computacional, etc.
Yo diría que comienzas a partir de estas 4 cosas: cálculo, técnicas de prueba, álgebra abstracta, análisis. Después de esto, es probable que tenga una idea bastante buena del “panorama general” de la estructura de las Matemáticas, sus intereses, las dependencias de otros subcampos y cómo están conectados entre sí, para tomar sus propias decisiones. Diré, personalmente, que probablemente desee agregar un libro sobre teoría de números en este punto:
5) Teoría de números : Teoría de números elemental (Springer Undergraduate Mathematics Series): Gareth A. Jones, Josephine M. Jones: 9783540761976: Amazon.com: Libros
En este punto, ya ha cubierto la mayoría de los conceptos básicos y probablemente pueda averiguar qué cursos tomar en qué orden, según sus intereses. También estará en un muy buen lugar para estudiar Textos de posgrado y aprender otros campos a través del autoaprendizaje.
Espero que esta respuesta ayude!