¿Por qué la ecuación de círculo es x ^ 2 + y ^ 2 + 2gx + 2fy + c = 0? ¿De dónde vino esta ecuación?

Answer 1

Esta ecuación directamente de la definición de un círculo.

Definición: Un círculo es un lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia desde un punto fijo siempre es constante.

Deje que el punto fijo sea (g, f), que en este caso es el centro del círculo.

Deje que el punto de movimiento variable sea (h, k)

De la definición tenemos:

(h – g) ^ 2 + (k – f) ^ 2 = r (Donde r es la distancia fija. En este caso, este es el radio)

=> h ^ 2 – 2gh + g ^ 2 + k ^ 2 – 2kf + f ^ 2 = r

=> h ^ 2 + k ^ 2 – 2gh – 2kf + g ^ 2 + f ^ 2 – r = 0

reemplace (h, k) con (x, y) y tendrá la respuesta

x ^ 2 + y ^ 2 – 2gx – 2fy + g ^ 2 + f ^ 2 – r = 0

Deje g ^ 2 + f ^ 2 – r = c

entonces tenemos x ^ 2 + y ^ 2 – 2gx – 2fy + c = 0

En algunas convenciones, tomamos el centro del círculo como (-g, -f). Eso explica el signo positivo en la ecuación.

Answer 2

Una sección cónica (o simplemente cónica ) es una curva obtenida como la intersección de la superficie de un cono con un plano . Los tres tipos de sección cónica son la hipérbola , la parábola y la elipse . El círculo es un caso especial de la elipse, y es de suficiente interés por derecho propio que a veces se le llamó un cuarto tipo de sección cónica.

En el sistema de coordenadas cartesianas, la gráfica de una ecuación cuadrática en dos variables es siempre una sección cónica y todas las secciones cónicas surgen de esta manera. La ecuación más general es de la forma

Las secciones cónicas descritas por esta ecuación pueden clasificarse por el Discriminante de la ecuación:

• si [matemática] B2−4AC <0 [/ matemática], la ecuación representa una elipse; si [matemática] A = C [/ matemática] y [matemática] B = 0 [/ matemática], la ecuación representa un círculo, que es un caso especial de una elipse;
• si [matemática] B2−4AC = 0 [/ matemática], la ecuación representa una parábola;
• si [matemática] B2−4AC> 0 [/ matemática], la ecuación representa una hipérbola; si también tenemos [matemática] A + C = 0 [/ matemática], la ecuación representa una hipérbola rectangular.

En la notación utilizada aquí, [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] son ​​coeficientes polinómicos, en contraste con algunas fuentes que denotan los ejes semi mayor y semi menor como [matemática] A [/ matemática] y [matemáticas] B [/ matemáticas].

Entonces, la principal diferencia entre estas 4 curvas es su excentricidad .

• si [matemática] e = 0 [/ matemática] , la ecuación representa un círculo
• si [matemática] 0 , la ecuación representa una elipse
• si [matemáticas] e = 1 [/ matemáticas] , la ecuación representa una parábola
• si [matemática] e> 1 [/ matemática] , la ecuación representa una hipérbola
• si [matemática] e = ∞ [/ matemática] , la ecuación representa una línea recta

Una curva simétrica de plano cerrado formada por la intersección de un cono con un plano perpendicular a su lado.

Geométricamente, un locus cerrado particular del plano que mantiene la misma distancia desde un punto específico (llamado centro) se llama Círculo

Entonces, si el centro es (h, k) y (x, y) sea cualquier punto del conjunto de todos los puntos en un plano, entonces la distancia

Answer 3

La ecuación [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + 2gx + 2fy + c = 0 [/ matemáticas] proviene de la definición del círculo mismo. La definición de círculo es “Todos los puntos que son equidistantes de un solo punto” y la distancia es el radio del círculo.

Considere un círculo con radio ‘r’ y deje que su centro se ubique en (-g, -f) en el sistema de coordenadas 2D. Ahora, dado que todos los puntos tge en el círculo están a una distancia r de (-g, -f) la ecuación del círculo de acuerdo con la fórmula de la distancia es

[matemáticas] (x – (- g)) ^ 2+ (y – (- f)) ^ 2 = r ^ 2 \\ \ por lo tanto x ^ 2 + 2gx + g ^ 2 + y ^ 2 + 2fy + f ^ 2 = r ^ 2 \\ \ por lo tanto x ^ 2 + y ^ 2 + 2gx + 2fy + g ^ 2 + f ^ 2-r ^ 2 = 0 \\ Let \ quad g ^ 2 + f ^ 2-r ^ 2 = c, \ text {ya que todas son constantes} \\ \ por lo tanto \ text {la ecuación del círculo es} \ boxed {x ^ 2 + y ^ 2 + 2gx + 2fy + c = 0} [/ math]

Answer 4

Un círculo se define como el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia desde un punto fijo siempre es constante.

Deje que el punto fijo sea C (A, B) y el punto de movimiento P (x, y) esté a una distancia r desde el punto C.

Ahora PC = r , o PC² = r²

O, (x – A) ² + (y – B) ² = r²

O, x² + y² + (- 2A) x + (-2B) y + (A² + B²-r²) = 0

Que se reorganiza como x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 para expresarlo como un caso especial de ecuación general de cónicas ax² + by² + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0 (Para un círculo a = b y h = 0 ).

Answer 5

Conocemos la ecuación general de segundo grado

ax ^ 2 + por ^ 2 + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0… (1), representa un círculo cuando h = 0 & a = b. Y cuando a = b = 1, entonces la ecuación anterior (1) se convierte en x ^ 2 + y ^ 2 + 2gx + 2fy + c = 0, … (2), si sumamos g ^ 2 & f ^ 2 en ambos lado de la ecuación (2), obtenemos

x ^ 2 + 2gx + g ^ 2 + y ^ 2 + 2fy + f ^ 2 = g ^ 2 + f ^ 2-c

O, (x + g) ^ 2 + (y + f) ^ 2 = {√ (g ^ 2 + f ^ 2-c)} ^ 2 .. (3) Ahora, si hacemos zoom en la ecuación (3), & compárelo con la forma popular de la ecuación de círculo (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = r ^ 2, encontramos que (ecuación 3) representa claramente un círculo que tiene centro (-g, -f) y radio √ (g ^ 2 + f ^ 2-c).

Esperemos que ahora estemos convencidos ……