[matemáticas] (f (x)) ^ 2 + (f ‘(x)) ^ 2 = 1. [/ matemáticas] ¿Cómo se prueba que [matemáticas] f (x) = \ sen x [/ matemáticas]?

Answer 1

Como lo mencionaron otras personas aquí, [math] f (x) = \ sin x [/ math] no es la única solución. Sin embargo, creo que nadie ha encontrado todas las soluciones de este DE todavía. Espero rectificar esto con mi respuesta.

Empezamos con

[matemáticas] y ^ 2 + (y ^ \ prime) ^ 2 = 1 \ quad [*] [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que

[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} y ^ 2 = 2y \, y ^ \ prime. [/ matemáticas]

similar

[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} (y ^ \ prime) ^ 2 = 2y ^ \ prime \, y ^ {\ prime \ prime}. [/ math]

Por lo tanto, diferenciamos ambos lados de [matemáticas] [*] [/ matemáticas] con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas]:

[matemática] 2y \, y ^ \ prime + 2y ^ \ prime \, y ^ {\ prime \ prime} = 0 [/ math]

[matemáticas] y ^ \ prime (y ^ {\ prime \ prime} + y) = 0. [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] y ^ \ prime = 0 [/ math] o [math] y ^ {\ prime \ prime} + y = 0 [/ math].

De la primera ecuación, [matemáticas] y = c [/ matemáticas]. Del segundo, [matemáticas] y = a \ cos x + b \ sen x [/ matemáticas].

Estas son las soluciones candidatas que deben probarse en [matemáticas] [*] [/ matemáticas].

Cuando [matemáticas] y = c, y ^ \ prime = 0 [/ matemáticas]. Sustituyendo en [matemática] [*] [/ matemática], obtenemos [matemática] c ^ 2 + 0 = 1 [/ matemática], de la cual [matemática] c = \ pm 1 [/ matemática].

Cuando [math] y = a \ cos x + b \ sin x, y ^ \ prime = b \ cos x – a \ sen x [/ math]. Sustituyendo en [matemáticas] [*] [/ matemáticas]:

[matemáticas] (a \ cos x + b \ sin x) ^ 2 + (b \ cos x – a \ sin x) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 \ cos ^ 2 x + 2ab \ cos x \ sin x + b ^ 2 \ sin ^ 2 x + b ^ 2 \ cos ^ 2 x – 2ab \ cos x \ sin x + a ^ 2 \ sen ^ 2 x = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = 1. [/ matemáticas]

Por lo tanto, las soluciones de la DE son:

[matemática] y = \ pm 1 [/ matemática] o [matemática] y = a \ cos x + b \ sen x [/ matemática] donde [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 = 1 [/ matemática].

Como Quora User y otros declararon, las combinaciones por partes de las funciones anteriores también son soluciones, siempre que las subfunciones se conecten en [math] y = \ pm1 [/ math].

Answer 2

Todos tienden a excluir la posibilidad de funciones por partes, como lo sugiere la respuesta de Barak Pearlmutter

Entonces, está claro ahora que las formas básicas de la función son:

• [matemáticas] f (x) = \ sin (xc) [/ matemáticas]
• [matemáticas] f (x) = \ pm 1 [/ matemáticas]

Sin embargo, también puede ser estacionario en [math] y = +1 [/ math], luego dejarlo sinusoide hacia [math] y = -1 [/ math] y luego volver a ser estacionario.

Entonces es como cambiar de carril en una carretera. Puede alternar entre [matemática] y = -1 [/ matemática] y [matemática] y = +1 [/ matemática], mientras conduce entre ellas. Dado que cada maniobra debe completarse y tiene una longitud de [math] \ pi [/ math], por lo tanto, pueden describirse mediante un tren de pulsos delta dirac con signos alternos, que se separan con al menos [math] \ pi [/ matemáticas].

Dado que la derivada de cada maniobra tiene la forma de [matemáticas] \ pm \ cos (x) [/ matemáticas], entre [matemáticas] – \ frac {\ pi} {2}

[matemáticas] f (x) = \ pm \ left (-1 + \ int _ {- \ infty} ^ x \ left (\ color {green} {\ sum_ {k = 0} ^ n \ frac {\ delta (t_k )} {(- 1) ^ k}} \ otimes \ color {azul} {\ cos (min (| t |, \ frac {\ pi} {2}))} \ right) dt \ right) [/ math ]

con [matemáticas] t_ {k + 1} – t_k \ ge \ pi \ qquad \ forall \ qquad k [/ matemáticas]

En el cual [math] \ otimes [/ math] es el operador de convolución, y [math] \ delta (t) [/ math] es la función delta dirac.

En el siguiente gráfico, se muestra un ejemplo de tal f (x) en el plano horizontal (proyectado en el piso), mientras que f ‘(x) se muestra en el plano vertical (proyectado en la pared a la derecha). La proyección en la parte posterior muestra que [matemáticas] f (x) ^ 2 + f ‘(x) ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

Answer 3

Deje [math] f (x) = \ sin x [/ math]

[matemáticas] f ‘(x) = \ cos x [/ matemáticas]

[matemáticas] [f (x)] ^ 2+ [f ‘(x)] ^ 2 = \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x = 1 [/ matemáticas]

Esto verifica el hecho de que [math] f (x) = \ sen x [/ math] es una solución de la ecuación diferencial dada, pero como han dicho otros, no es necesariamente la única solución a la ecuación.

De la solución de Alexander Farrugia tenemos [matemáticas] y = c [/ matemáticas] y [matemáticas] y = a \ cos x + b \ sin x [/ matemáticas]

Si ponemos [matemática] a = 0, b = 1, [/ matemática] obtenemos [matemática] y = f (x) = \ sin (x) [/ matemática] como la solución que está buscando verificar.

Answer 4

Expresamos la ecuación en forma de ecuación diferencial:

[matemáticas] (\ frac {df} {dx}) ^ 2 + f ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

Luego resolvemos para [math] df / dx [/ math] tomando la raíz positiva:

[matemáticas] \ frac {df} {dx} = \ sqrt {1-f ^ 2} [/ matemáticas]

Multiplicando ambos lados por [math] dx [/ math] y dividiendo por [math] \ sqrt {1-f ^ 2} [/ math] obtenemos

[matemáticas] \ frac {df} {\ sqrt {1-f ^ 2}} = dx [/ matemáticas]

Integrando ambos lados de esta ecuación obtenemos

[matemáticas] \ int \ frac {1} {\ sqrt {1-f ^ 2}} df = \ int dx [/ matemáticas]

La integral del lado izquierdo es igual a [math] arcsin (f) [/ math] y el lado derecho a [math] x + c [/ math], desde aquí, simplemente aplicamos la función inversa a [math] arcsin [/ math] para obtener

[matemáticas] f (x) = sin (x + c) [/ matemáticas]

[matemática] c [/ matemática] es una constante y puede tener cualquier valor que desee y la ecuación diferencial se mantendrá.

Answer 5

Resolver para [math] y ‘[/ math] y variables separadas.

[matemáticas] y ^ 2 + y ‘^ 2 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] y ‘^ 2 = 1 – y ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] y ‘= \ pm \ sqrt {1 – y ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ pm \ frac {y ‘} {\ sqrt {1 – y ^ 2}} = 1 [/ matemáticas] ★

[matemáticas] \ pm \ frac {dy} {\ sqrt {1 – y ^ 2}} = dx [/ matemáticas]

Divide los casos positivos y negativos. Positivo:

[matemáticas] \ arcsin y = x + C [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ sin (x + C) [/ matemáticas]

Negativo:

[matemáticas] \ arccos y = x + C [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ cos (x + C) [/ matemáticas]

Como sabemos que [math] \ sin (x + \ frac {\ pi} {2}) \ equiv \ cos (x) [/ math], podemos expresar la solución completa con solo

[matemáticas] y = \ sin (x + C) [/ matemáticas]

En particular, si elegimos que la constante de integración sea [matemática] C = 0 [/ matemática], obtenemos el caso parcial de [matemática] y = \ sen x [/ matemática], pero como puede ver, cualquier traducción de la función seno a lo largo del eje [math] x [/ math] funcionará bien, incluido el coseno.

★ – como Barak Pearlmutter notó correctamente en el comentario, en este paso estamos asumiendo que [math] y ^ 2 \ neq 1 [/ math]. Podemos comprobar manualmente que, de hecho, tanto [matemática] y = 1 [/ matemática] como [matemática] y = -1 [/ matemática] también son las soluciones de la ecuación diferencial dada.

Answer 6

Dibujas un triángulo rectángulo que hipotenusa es igual a 1 en longitud, ya que f (x) ^ 2 + f ‘(x) ^ 2 = 1, entonces podemos decir con seguridad que f (x) y f’ (x) pueden ser el otro lados restantes del teorema del triángulo rectángulo-pitágoras. Pero, f (x) dividido por la hipotenusa, que todavía da f (x), es igual al pecado del ángulo opuesto al lado de la longitud = f (x). Lo mismo se aplica al otro lado, f ‘(x) cuando se divide por la hipotenusa da el coseno del mismo ángulo opuesto a f (x). Aplica que d / dx sen x = coseno x, lo que prueba f (x) = sin x

Answer 7

Aquí hay una solución divertida: [matemáticas] f (x) = \ begin {cases} 1 & x \ leq 0 \\ \ cos x & 0 \ leq x \ leq \ pi \\ -1 & x \ geq \ pi \ end {casos} [/ matemáticas]

Answer 8

No es una respuesta completa y lo siento, pero f (x) = sin x no es la única solución: f (x) = 1 también satisface.

Editar: también, f (x) = -1 o cos x ambos satisfacen. Hay recetas para resolver ecuaciones diferenciales en línea; Sería útil proporcionar el dominio y el codominio de la función. Prometo que lo investigaré más una vez que llegue a casa.

Answer 9

Escribe u = f (x).

Entonces nuestra ecuación para resolver es

u ^ 2 + (du / dx) ^ 2 = 1;

equivalentemente, (du / dx) ^ 2 = 1 – u ^ 2,

o (dx / du) ^ 2 = 1 / (1 – u ^ 2)

Para resolver esto, pon u = sin θ, -π / 2 <θ <π / 2.

Entonces du / dθ = cos θ = + √ (1 – u ^ 2), debido a la elección del rango de θ.

Entonces dx / dθ = dx / du * du / dθ = 1.

Entonces x = θ – c;

entonces u = sin (x + c) (no simplemente sin x)

Answer 10

Si tomamos f (x) = sin (x), entonces su derivada sería f ‘(x) = cos (x). Ahora ponga estos valores al lado izquierdo de su ecuación. Obtiene sen ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x), es decir 1. Que es una identidad trigonométrica y es igual a 1

Answer 11

Ok, veamos paso a paso

Si f (x) = sin (x) entonces f (x) ^ 2 = sin ^ 2 (x)

f ‘(x) es la derivada de f’ (x), que en este caso es la derivada de sin (x), que es cos (x) (acabo de aplicar la fórmula derivada para funciones trigonométricas, siempre puedes buscar en Google que verificar, checar, comprobar)

Entonces, si f ‘(x) = cos (x) entonces f’ (x) ^ 2 = cos ^ 2 (x)

Entonces al final tenemos sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1
Esa es exactamente la identidad trigonométrica pitagórica, así que es verdad y supongo que está hecha.

Answer 12

Sería difícil probar esto, ya que [math] f (x) = 1 [/ math] también es suficiente.