La ecuación dada:
[matemáticas] \ displaystyle {y ‘= \ frac {\ sqrt {3} x + 3y} {3x – \ sqrt {3} y – 2}} [/ matemáticas]
Considerando el siguiente sistema:
[matemáticas] {\ begin {cases} \ sqrt {3} x + 3y = 0 \\ 3x – \ sqrt {3} y -2 = 0 \ end {cases}} [/ math]
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[matemáticas] \ displaystyle {\ Leftrightarrow (x, y) = \ left (\ frac {1} {2}, – \ frac {\ sqrt {3}} {6} \ right)} [/ math]
Proponemos nuevas variables, es decir:
[matemáticas] \ displaystyle {x = X + \ frac {1} {2}, \, y = Y – \ frac {\ sqrt {3}} {6} \ Rightarrow \ mathrm {d} x = \ mathrm {d } X, \, \ mathrm {d} y = \ mathrm {d} Y} [/ math]. Entonces:
[matemáticas] \ displaystyle {y ‘= \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = \ frac {\ mathrm {d} Y} {\ mathrm {d} X} = \ frac { \ sqrt {3} \ left (X + \ frac {1} {2} \ right) + 3 \ left (Y – \ frac {\ sqrt {3}} {6} \ right)} {3 \ left (X + \ frac {1} {2} \ right) – \ sqrt {3} \ left (Y – \ frac {\ sqrt {3}} {6} \ right) – 2}} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle {\ Leftrightarrow \ frac {\ mathrm {d} Y} {\ mathrm {d} X} = \ frac {\ sqrt {3} X + 3Y} {3X – \ sqrt {3} Y}} [/matemáticas]
Como la ecuación derivada es homogénea, podemos resolverla aplicando algunas técnicas tradicionales. Una forma obvia de hacerlo es dejar que [math] Y = uX [/ math].