Cómo determinar la ecuación de la tangente a la curva [matemática] f (x) = x ^ 3-x [/ matemática], que pasa por el punto [matemática] (0,2) [/ matemática]

Answer 1

[matemáticas] f (x) = x ^ 3-x [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = 3x ^ 2-1 [/ matemáticas]

La derivada [math] f ‘(x) [/ math] da la pendiente en cada punto. Llamemos a un punto tangente particular [matemáticas] (t, f (t)) [/ matemáticas]. La línea tangente pasará por ese punto con pendiente [matemática] f ‘(t) [/ matemática], entonces

[matemáticas] f ‘(t) = \ frac {y – f (t)} {x – t} [/ matemáticas]

[matemáticas] (xt) f ‘(t) = yf (t) [/ matemáticas]

[matemáticas] y = xf ‘(t) + f (t) -t f’ (t) [/ matemáticas]

[matemáticas] y = x (3t ^ 2-1) + t ^ 3 – t – t (3t ^ 2-1) [/ matemáticas]

[matemáticas] y = x (3t ^ 2-1) – 2t ^ 3 [/ matemáticas]

Esa es la línea tangente general que pasa por [math] (t, f (t)) [/ math]. Estamos buscando el que también pasa por [matemáticas] (0,2) [/ matemáticas].

[matemáticas] 2 = 0 (3t ^ 2-1) – 2t ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] -1 = t ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] t = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 2x + 2 [/ matemáticas]

Esa es la línea tangente que estamos buscando.

Cheque. Como [math] t = -1 [/ math], esta línea tangente debe intersecar [math] f [/ math] en [math] (- 1, f (-1)) = (-1,0) [/ math ], y por supuesto debería pasar por [math] (0,2) [/ math]. Vamos a revisar.

La línea tangente en [matemática] x = -1 [/ matemática] da: [matemática] y = 2 \ cdot -1 + 2 = 0 [/ matemática]. [matemáticas] f [/ matemáticas] en [matemáticas] x = -1 [/ matemáticas] da: [matemáticas] f (-1) = (-1) ^ 3 – (- 1) = 0 \ \ \ marca de verificación [/ matemáticas]. La línea tangente en [matemática] x = 0 [/ matemática] da [matemática] y = 2 \ cdot 0 + 2 = 2 \ \ \ marca de verificación [/ matemática].

Answer 2

la derivada de f (x) = x ^ 3-x es
f ‘(x) = 3x ^ 2–1

Una línea tangente en un punto tiene la misma pendiente que la función en ese punto.
Digamos que t (x) = m * x + n es la línea tangente.

Entonces m = f ‘(x).

entonces, en general, la línea tangente tiene la función:
t (x) = (3x ^ 2–1) * x + n
= 3x ^ 3-x + n

Ahora sabemos que el punto (0,2) significa estar en la línea tangente, por lo que podemos decir

2 = t (0) = 3 * 0 ^ 3–0 + n
2 = n

Entonces la fórmula final para la línea tangente es
t (x) = x ^ 3-x + n = x ^ 3-x + 2

El fin.

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Solo algunos conocimientos al azar porque estoy aburrido:

En general, también puede encontrar la fórmula de línea tangente para cualquier punto específico en el gráfico.
Digamos que te importa la línea tangente del punto P = (x, f (x)) en el gráfico.

la línea tangente general se puede escribir como t (x) = m * x + n.

Como la línea tangente y la función comparten la misma pendiente en ese punto, tenemos
m = f ‘(x)

entonces la fórmula es
t (x) = m * x + n = f ‘(x) * x + n

También sabemos que el punto está en la función y en la línea tangente ya que es el único punto de intersección del punto.

Por eso sabemos que
f (x) = t (x) en ese punto específico.

Para que podamos escribir
f (x) = t (x) = f ‘(x) * x + n

y resuelve para n:
f (x) = f ‘(x) * x + n

n = f (x) / (f ‘(x) * x)

Esto nos da la fórmula final para la línea tangente:
t (x) = m * x + n
= f ‘(x) * x + f (x) / (f’ (x) * x)

Por lo tanto, siempre puede usar esta fórmula para calcular la línea tangente en un punto.
se dará f (x), encuentre f ‘(x) y ponga ambos en la fórmula f (x).

Y tendrá la fórmula de la línea tangente solo según x.

Answer 3

La pendiente [matemática] (m) [/ matemática] de la tangente en un punto [matemática] (x_1, y_1) [/ matemática] en la curva se obtiene al diferenciar [matemática] y = x ^ 3 – x [/ matemática ] con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas]. Obtenemos,

[matemáticas] \ displaystyle \ left. \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} \ right | _ {y = y_1} = 3x_1 ^ 2 – 1 [/ math]

Como la tangente a la curva debe pasar por [matemática] (0, 2), y = mx + 2 [/ matemática] debe ser la ecuación de la tangente. Si es tangencial a la curva en [matemáticas] (x_1, y_1), [/ matemáticas]

[matemáticas] y_1 = x_1 ^ 3 – x_1 = 3x_1 ^ 3 – x_1 + 2 \ implica x_1 = -1 \ implica m = 2 [/ matemáticas]

Por lo tanto, la tangente es [matemática] y = 2x + 2 [/ matemática] y es tangencial a la curva en [matemática] (- 1, 0) [/ matemática].

Answer 4

Tenga en cuenta que la ecuación de una línea tangente con una pendiente [matemática] m [/ matemática] y un punto arbitrario [matemática] (x, y) [/ matemática] viene dada por [matemática] y-y_1 = m (x-x_1 )[/matemáticas].

El punto [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas] es simplemente [matemáticas] (x, f (x)) [/ matemáticas]. En la pregunta parece que ya te dieron el punto. Tenga en cuenta que el punto [matemáticas] (0,2) [/ matemáticas] no se encuentra en la curva, sino que es solo la línea que la atraviesa.

Vamos a encontrar la pendiente de la curva.

[matemáticas] f ‘(x) = 3x ^ 2-1 [/ matemáticas]

Tomando cualquier punto arbitrario [matemáticas] (a, f (a)) [/ matemáticas]

Apliquemos este punto en la ecuación de la línea tangente de arriba.

[matemáticas] yf (a) = (3a ^ 2-1) (xa) [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow y = (3a ^ 2-1) (xa) + f (a) [/ math]

La línea tangente pasa por [math] (0,2) [/ math].

[matemáticas] 2 = (3a ^ 2-1) (0-a) + (a ^ 3-a) [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow -a (3a ^ 2-1) + (a ^ 3-a) = 2 [/ matemática]

[matemáticas] \ Rightarrow -3a ^ 3 + a + a ^ 3-a-2 = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow -2a ^ 3-2 = 0 [/ matemática]

[matemática] \ Rightarrow -2a ^ 3 = 2 [/ matemática]

[matemática] \ Rightarrow a ^ 3 = -1 [/ matemática]

[math] \ Rightarrow a = -1 [/ math]

[matemáticas] f (-1) = 0 [/ matemáticas]

Entonces la ecuación de la línea tangente se convierte en

[matemáticas] y-0 = (3-1) (x + 1) [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow y = 2x + 2 [/ math]

Answer 5

Primero, escribiremos la ecuación para la línea tangente a través de un punto [matemática] (a, f (a)) [/ matemática].

La derivada de [math] f (x) [/ math] viene dada por: [math] f ‘(x) = 3x ^ 2-1 [/ math]. Entonces, para nuestro punto, obtenemos [matemáticas] f ‘(a) = 3a ^ 2-1 [/ matemáticas]. La ecuación de una línea a través de un punto dado con una pendiente dada es bastante fácil:

[matemáticas] y (x) = f (a) + f ‘(a) (xa) [/ matemáticas].

Sabemos que la tangente pasa por [math] (0,2) [/ math]. Esto significa [matemáticas] 2 = f (a) – af ‘(a) = (a ^ 3-a) – (3a ^ 3-a) = -2a ^ 3 [/ matemáticas]. Obtenemos la ecuación cúbica (en [matemáticas] a [/ matemáticas]):

[matemáticas] 2a ^ 3 + 2 = 0 [/ matemáticas]. Esto tiene solo una solución real, que es [math] a = -1 [/ math].

Entonces, la ecuación de la tangente que estamos buscando es [matemática] y (x) = 2x + 2 [/ matemática].

Answer 6

Esto puede parecer increíble, pero yo crecí en mis bosques en Canadá y en los días de mi experiencia en la escuela secundaria, no estudié cálculo. La siguiente es la única forma en que sabíamos hacer tales preguntas.

Deje que la ecuación de la tangente sea [matemática] y = mx + b. [/ Matemática] Tenga en cuenta que [matemática] m [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​las variables reales en esta ecuación. Esta línea y el cúbico solo pueden cruzarse en un punto, por lo que intentamos cruzarlos.

[matemáticas] x ^ 3-x = mx + b \ Flecha derecha x ^ 3- (m + 1) x + b = 0. [/ matemáticas]

También sabemos, para uso posterior, que [math] b = 2. [/ math] Oh, también podríamos usarlo ahora. La ecuación que examinamos es [matemáticas] x ^ 3- (m + 1) x + 2 = 0. [/ Matemáticas]

Espere un minuto, en el Grado 13 (recuerdo que soy de la prehistoria de Canadá), tratamos con secciones cónicas que eran cuadráticas, no cúbicas. Sin embargo, nuestro maestro tenía libros de recursos disponibles y nos animaron a buscar cosas, como el discriminante. (Los libros fueron lo que vino antes de Internet). El discriminante para este cúbico es

[matemáticas] 4 (m + 1) ^ 3-27 \ veces 2 ^ 2 = 4 (m + 1) ^ 3-4 \ veces 27. [/ matemáticas]

Para que [math] x ^ 3- (m + 1) x + 2 = 0 [/ math] tenga múltiples raíces, el elemento de discriminación debe ser 0. SO resuelva para m en

[matemáticas] (m + 1) ^ 3-27 = 0 \ Flecha derecha m = 2. [/ matemáticas]

Entonces la ecuación de la tangente es [matemática] y = 2x + 2. [/ Matemática]

Eso no fue muy conciso.

Answer 7

La pendiente es básicamente tangente dibujada a la curva en un punto particular.
m = df (x) / dx
m = 3x-1
El valor de la pendiente en (0,2) es m = -1
Por la pendiente del punto, la ecuación de la línea es y-y1 = m (x-x1)
y-2 = -1 (x)
x + y = 2 será la ecuación de línea.