¿Necesitamos encontrar la solución particular de PDEs primero antes de hacer los modelos numéricos?

Answer 1

El concepto de “soluciones particulares” se utiliza en el contexto de aproximaciones de elementos finitos, es decir, en la forma estándar de asignar condiciones de contorno de Dirichlet no homogéneas en métodos de elementos finitos. Si se requiere que la solución sea igual a una función dada [math] g [/ math] en una parte del límite, la solución se puede escribir como [math] u = \ hat g + u_0 [/ math], donde [math] \ hat g [/ math] es una extensión de [math] g [/ math] en una función definida en todo el dominio, y [math] u_0 [/ math] es la función complementaria con condiciones de contorno homogéneas. Después de conectar esta descomposición en la forma variacional, obtenemos una ecuación para [math] u_0 [/ math], que luego se resuelve.

La extensión típica que se usa es muy simple; es la función que, para los interpolantes lagrangianos, es cero en todos los nodos internos e igual a [math] g [/ math] en los nodos del límite. Y tampoco es necesario utilizar una estructura de datos separada para [math] \ hat g [/ math]; los valores nodales de [math] u_0 [/ math] y [math] \ hat g [/ math] pueden almacenarse en la misma estructura de datos.

Además, en el software, todo esto generalmente está completamente oculto para el usuario.

Answer 2

No, no es necesario. Los elementos finitos generalmente usan aproximaciones polinómicas locales a las soluciones PDE, que pueden ser o no soluciones particulares para el problema en cuestión. Lo que es bueno saber, al menos para FEM, es la regularidad de la solución, es decir, en qué espacio de Sobolev vive. FEM se aproxima al espacio de Sobolev, y los resultados de estabilidad a menudo requieren saber que su aproximación está en el espacio de solución correcto.