Cómo resolver la integral [matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {2x ^ 3 + 3x ^ 2} {(2x ^ 2 + x-3) \ sqrt {x ^ 2 + 2x-3}} \ mathrm dx [/ matemáticas]

Answer 1

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} I = \ displaystyle \ int \ frac {2x ^ 3 + 3x ^ 2} {(2x ^ 2 + x-3) \ sqrt {x ^ 2 + 2x-3 }} \ mathrm dx & = \ displaystyle \ int \ frac {x ^ 2 (2x + 3)} {(x-1) (2x + 3) \ sqrt {x ^ 2 + 2x-3}} \ mathrm dx \\ & = \ displaystyle \ int \ frac {x ^ 2} {(x-1) \ sqrt {(x + 1) ^ 2-4}} \ mathrm dx \\ & = \ displaystyle \ int \ frac {x ^ 2 -1 + 1} {(x-1) \ sqrt {(x + 1) ^ 2-4}} \ mathrm dx \\ & = \ displaystyle \ int \ frac {(x-1) (x + 1) + 1} {(x-1) \ sqrt {(x + 1) ^ 2-4}} \ mathrm dx \\ & = \ displaystyle \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {(x + 1) ^ 2-4}} \ mathrm dx + \ displaystyle \ int \ frac {1} {(x-1) \ sqrt {(x + 1) ^ 2-4}} \ mathrm dx \ end {split} \ end {ecuación } \ tag * {} [/ math]

Ahora resolvamos las 2 integrales por separado …

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Resolvamos la primera integral …

[matemáticas] I_1 = \ displaystyle \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {(x + 1) ^ 2-4}} \ mathrm dx [/ math]

Deje [matemáticas] (x + 1) ^ 2-4 = y ^ 2 [/ matemáticas]

Tomando derivada de ambos lados …

[matemáticas] 2 (x + 1) dx = 2y dy [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (x + 1) dx = y dy [/ matemáticas]

[matemáticas] \ begin {ecuación} \ begin {split} I_1 = \ displaystyle \ int \ frac {y} {y} \ mathrm dy & = \ displaystyle \ int 1 \ mathrm dy \\ & = y + C_1 \\ & = \ sqrt {(x + 1) ^ 2-4} + C_1 \ end {split} \ end {ecuación} \ tag * {} [/ math]

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Con eso fuera del camino, ahora resolvamos la segunda Integral …

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} I_2 = \ displaystyle \ int \ frac {1} {(x-1) \ sqrt {(x + 1) ^ 2-4}} \ mathrm dx & = \ displaystyle \ int \ frac {1} {(x-1) \ sqrt {(x-1) (x + 3)}} \ mathrm dx \ end {split} \ end {ecuación} \ tag * {} [/ math]

Deje [math] x-1 = t [/ math]

[matemáticas] \ implica x = t + 1 [/ matemáticas]

Tomando derivada de ambos lados …

[matemáticas] dx = dt [/ matemáticas]

[matemáticas] I_2 = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {t \ sqrt {t (t + 4)}} \ mathrm {dt} [/ math]

Tome [math] t ^ 2 [/ math] común de la raíz inferior …

[matemáticas] I_2 = \ displaystyle \ int \ frac {1} {t ^ 2 \ sqrt {1+ \ frac {4} {t}}} \ mathrm dt [/ math]

Ahora simplemente sustituya [matemáticas] 1+ \ dfrac {4} {t} = u ^ 2 [/ matemáticas]

Tomando derivada de ambos lados …

[matemáticas] \ dfrac {-4} {t ^ 2} dt = 2udu [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {dt} {t ^ 2} = \ dfrac {-1} {2} udu [/ matemáticas]

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} I_2 = – \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ int \ frac {u} {u} \ mathrm du & = – \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ int 1 \ mathrm du \\ & = – \ dfrac {1} {2} u + C_2 \\ & = – \ dfrac {1} {2} \ sqrt {1+ \ frac {4} {t}} + C_2 \\ & = – \ dfrac {1} {2} \ sqrt {1+ \ frac {4} {x-1}} + C_2 \ end {split} \ end {ecuación} \ tag * {} [/ matemáticas]

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¡Uf! Casi terminado…

Ahora todo lo que queda por hacer es volver a armar todo 😛

[matemáticas] I = I_1 + I_2 [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ sqrt {(x + 1) ^ 2-4} + C_1 – \ dfrac {1} {2} \ sqrt {1+ \ frac {4} {x-1}} + C_2 [/ matemáticas ]

[matemáticas] \ boxed {I = \ sqrt {(x + 1) ^ 2-4} – \ dfrac {1} {2} \ sqrt {1+ \ frac {4} {x-1}} + C} [ /matemáticas]

Resuelto ✓

Answer 2

En primer lugar, el numerador y el denominador tienen un factor de [matemática] 2x + 3 [/ matemática]. Entonces puedes cancelarlos. Luego, tenga en cuenta que el término debajo de la raíz cuadrada es [matemática] (x + 1) ^ 2 – 2 ^ 2 [/ matemática], así que haga la sustitución estándar [matemática] x = 2 \ seg (u) -1 [/ matemática] . Entonces [math] dx = 2 \ sec (u) \ tan (u) du [/ math].

Entonces tenemos [matemáticas] \ int \ frac {(2 \ sec (u) -1) ^ 2 2 \ sec (u) \ tan (u) du} {(2 \ sec (u) -2) 2 \ tan (u)} [/ matemáticas]. Las tangentes y los 2 se cancelan.

Entonces el truco inteligente es multiplicar arriba y abajo por [matemáticas] \ seg (u) + 1 [/ matemáticas]. Entonces el denominador es [math] \ tan ^ 2 (u) [/ math] mientras que el numerador contiene solo secantes: [math] \ int \ frac {(2 \ sec (u) -1) ^ 2 \ sec (u) (\ sec (u) +1) du} {2 \ tan ^ 2 (u)} [/ math]

Cuando expande el numerador, cada [matemática] \ seg ^ 2 (u) [/ matemática] puede reemplazarse con [matemática] 1+ \ tan ^ 2 (u) [/ matemática] y las tangentes en numerador y denominador se cancelan.

Te queda una integral de la forma [matemáticas] \ int \ frac {A \ sec (u)} {\ tan ^ 2 (u)} + \ frac {B} {\ tan ^ 2 (u)} + C \ sec ^ 2 (u) + D \ sec (u) + E du [/ math] para constantes explícitas AE, y cada uno de estos componentes se puede calcular individualmente.

Answer 3

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {2x ^ 3 + 3x ^ 2} {(2x ^ 2 + x-3) \ sqrt {x ^ 2 + 2x-3}} \ mathrm dx [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ dfrac {x ^ 2 (2x + 3)} {(2x + 3) (x-1) \ sqrt {x ^ 2 + 2x-3}} \ mathrm dx [/ math]

[math] = \ displaystyle \ int \ dfrac {x ^ 2} {(x-1) \ sqrt {(x + 3) (x-1)}} dx [/ math]

Sustituir [matemáticas] \ dfrac {x + 3} {x-1} = t ^ 2; \ dfrac {(x-1) – (x + 3)} {(x-1) ^ 2} dx = 2t dt \ to \ dfrac {-2} {(x-1) ^ 2} dx = t dt; [/matemáticas]

[matemáticas] x = \ dfrac {t ^ 2 + 3} {t ^ 2–1} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 = \ dfrac {(t ^ 2-1 + 4) ^ 2} {(t ^ 2–1) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {(t ^ 2-1) ^ 2 + 8 (t ^ 2-1) +16} {(t ^ 2–1) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 + \ dfrac {8 (t ^ 2 + 1)} {(t ^ 2–1) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 + 4 \ dfrac {(t + 1) ^ 2 + (t-1) ^ 2} {(t ^ 2–1) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 + 4 \ dfrac {1} {(t – 1) ^ 2} +4 \ dfrac {1} {(t + 1) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ displaystyle – \ int \ dfrac 1 2 \ left (1+ \ dfrac {4} {(t – 1) ^ 2} + \ dfrac {4} {(t + 1) ^ 2} \ right ) dt = – \ dfrac 1 2 \ left (t- \ dfrac {4} {t – 1} – \ dfrac {4} {t + 1} \ right) [/ math]

[matemática] = – \ dfrac 1 2 \ left (t- \ dfrac {8t} {(t ^ 2–1)} \ right) + C [/ math]

Ahora la sustitución hacia atrás da

[matemáticas] I = \ en caja {\ dfrac {(2x-3)} 2 \ sqrt {\ dfrac {x + 3} {x-1}} + C} [/ matemáticas]

Answer 4

Comience en la observación:

[matemáticas] (2x ^ 3 + 3x ^ 2) = (2x ^ 2 + x -3) (x + 1) + (2x + 3) [/ matemáticas]

Sustituya esto en nuestra integral y obtendrá:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {2x ^ 3 + 3x ^ 2} {(2x ^ 2 + x – 3) \ sqrt {x ^ 2 + 2x -3}} \ mathrm {d} x = \ frac { 1} {2} \ int \ frac {2x + 2} {\ sqrt {x ^ 2 + 2x – 3}} \ mathrm {d} x + \ int \ frac {2x + 3} {(2x ^ 2 + x – 3) \ sqrt {x ^ 2 + 2x -3}} \ mathrm {d} x = \ sqrt {x ^ 2 + 2x – 3} + \ int \ frac {\ mathrm {d} x} {(x – 1) \ sqrt {(x + 1) ^ 2 – 4}} [/ math]

Para evaluar la última integral, hacemos la sustitución [math] x + 1 = 2 \ sec \ theta \ implica \ mathrm {d} x = 2 \ sec \ theta \ tan \ theta \ mathrm {d} \ theta [/ math ] Obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {\ mathrm {d} x} {(x – 1) \ sqrt {(x + 1) ^ 2 – 4}} = \ frac {1} {2} \ int \ frac {\ sec \ theta} {\ sec \ theta – 1} \ mathrm {d} \ theta = \ frac {1} {2} \ int \ frac {\ mathrm {d} \ theta} {1 – \ cos \ theta } = \ frac {1} {2} \ int \ csc ^ 2 \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ mathrm {d} \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right ) = – \ frac {1} {2} \ cot \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) + C [/ math]

Answer 5

[matemáticas] \ int \ dfrac {x ^ 2 (2x + 3)} {(x-1) (2x + 3) \ sqrt {(x + 1) ^ 2-4}} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ dfrac {x ^ 2} {(x-1) \ sqrt {(x + 1) ^ 2-4}} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 2 \ seg t-1 [/ matemáticas]

[matemáticas] dx = \ dfrac {2 \ sin t} {\ cos ^ 2t} \, dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ dfrac {2 \ sen t (2 \ sec t-1) ^ 2} {\ cos ^ 2t (2 \ sec t-2) \ sqrt {4 \ sec ^ 2t-4}} \, dt [/ math]

[matemáticas] \ int \ dfrac {2 \ sen t (2 \ sec t-1) ^ 2} {\ cos ^ 2t (2 \ sec t-2) \ sqrt {4 \ tan ^ 2t}} \, dt [ /matemáticas]

[matemática] \ int \ dfrac {\ sen t (4 \ sec ^ 2t-4 \ sec t + 1)} {\ cos ^ 2t (2 \ sec t-2) \ tan t} \, dt [/ math]

[matemáticas] \ int \ dfrac {\ dfrac {4 \ sin t-4 \ sin t \ cos t} {\ cos ^ 2t} + \ sin t} {2 \ sin t-2 \ sin t \ cos t} \ , dt [/ math]

[matemáticas] \ int 2 \ sec ^ 2t + \ dfrac {\ sin t} {2 \ sin t-2 \ sin t \ cos t} \, dt [/ math]

[matemáticas] \ int 2 \ sec ^ 2t + \ dfrac {1} {2} \ dfrac {1} {1- \ cos t} \, dt [/ math]

[matemáticas] \ int 2 \ sec ^ 2t + \ dfrac {1} {2} \ dfrac {1+ \ cos t} {1- \ cos ^ 2t} \, dt [/ math]

[matemáticas] \ int 2 \ sec ^ 2t + \ dfrac {1} {2} \ dfrac {1+ \ cos t} {\ sin ^ 2t} \, dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int 2 \ sec ^ 2t + \ dfrac {1} {2} \ csc ^ 2t + \ dfrac {\ cos t} {2 \ sin ^ 2t} \, dt [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 \ tan t- \ dfrac {1} {2} \ cot t- \ dfrac {1} {2} \ csc t [/ matemáticas]

[matemáticas] t = \ arcsec \ dfrac {x + 1} {2} = \ arccos \ dfrac {2} {x + 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 \ tan \ arccos \ dfrac {2} {x + 1} – \ dfrac {1} {2} \ cot \ arccos \ dfrac {2} {x + 1} – \ dfrac {1} {2} \ csc \ arccos \ dfrac {2} {x + 1} + C [/ math]

Answer 6

Usa la sustitución de Euler

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {u ^ 2 + 3} {2u + 2} [/ matemáticas]

Escribir esto como un elemento cuadrático en [matemáticas] u [/ matemáticas] y luego resolver para [matemáticas] u [/ matemáticas] da

[matemáticas] \ displaystyle u = x + \ sqrt {x ^ 2 + 2x – 3} [/ matemáticas]

También,

[matemáticas] \ displaystyle dx = \ Bigg [\ frac {2u} {2u + 2} – \ frac {2 (u ^ 2 + 3)} {(2u + 2) ^ 2} \ Bigg] du = \ Bigg [ \ frac {u ^ 2 + 2u-3} {2 (u + 1) ^ 2} \ Bigg] du [/ math]

Notamos que

[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {x ^ 2 + 2x-3} = u – x = u – \ frac {u ^ 2 + 3} {2u + 2} = \ frac {u ^ 2 + 2u-3} { 2u + 2} [/ matemáticas]

entonces,

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {dx} {\ sqrt {x ^ 2 + 2x – 3}} = \ frac {du} {u + 1} [/ math]

Enchufe [matemáticas] x = (u ^ 2 + 3) / (2u + 2) [/ matemáticas] para obtener

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {2x ^ 3 + 3x ^ 2} {2x ^ 2 + x-3} = \ frac {(u ^ 2 + 3) ^ 2} {2 (u-1) ^ 2 (u +1)} [/ matemáticas]

y entonces, nos queda integrar

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ frac {(u ^ 2 + 3) ^ 2} {2 (u-1) ^ 2 (u + 1) ^ 2} du [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {2} \ int \ Bigg [\ frac {4} {(u + 1) ^ 2} + \ frac {4} {(u-1) ^ 2} + 1 \ Bigg] du [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = – \ frac {2} {u + 1} – \ frac {2} {u-1} + \ frac {u} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {u} {2} – \ frac {4u} {u ^ 2-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {(x + 3) (2x-3)} {2 \ sqrt {(x-1) (x + 3)}} [/ matemáticas]

cuando volvemos a poner [matemáticas] u = x + \ sqrt {x ^ 2 + 2x-3} [/ matemáticas]

Answer 7

Esto es muy similar a otra pregunta. Use el mismo método que escribí aquí: https://www.quora.com/How-do-you-solve-the-integral-int-frac-3x+1-left-x-2-x-6-right -sqrt-3x-2 + 4x + 7-dx / respuesta / Michael-Jørgensen-2? srid = n96Q

Answer 8

Este método es bastante forzado. Aunque no estoy satisfecho por cuánto tiempo tomó el problema, creo que esta respuesta es correcta. Sin embargo, no olvide poner una constante al final de la respuesta, ya que esta integral es indefinida. Corrígeme si me equivoco.