Hay infinitas soluciones. La prueba es como sigue:
Deje [math] x = n + t, n \ in \ mathbb {N}, t \ in (0,1) [/ math]
Entonces [math] \ {x \} = t [/ math] y [math] \ left \ {\ frac {1} {x} \ right \} = \ frac {1} {n + t}. [/ Math ]
[matemáticas] \ {x \} + \ left \ {\ frac {1} {x} \ right \} = 1 [/ matemáticas]
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- Cómo resolver la integral [matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {2x ^ 3 + 3x ^ 2} {(2x ^ 2 + x-3) \ sqrt {x ^ 2 + 2x-3}} \ mathrm dx [/ matemáticas]
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[matemáticas] \ implica t + \ frac {1} {n + t} = 1 [/ matemáticas]
[matemática] \ implica (1-t) (n + t) = 1 \ implica t ^ 2 + (n-1) t- (n-1) = 0. [/ matemática]
Observe que para [matemáticas] n \ geq 2, t ^ 2 + (n-1) t- (n-1) [/ matemáticas] es negativo para [matemáticas] t = 0 [/ matemáticas] y positivo para [matemáticas] t = 1 [/ math] [math]. [/ math] Del teorema del valor intermedio se deduce que para algunos [math] t \ in (0,1) [/ math] satisface [math] t ^ 2 + (n- 1) t- (n-1) = 0 [/ matemática].
Por lo tanto, por cada [math] n \ in \ mathbb {N}, n \ geq 2, [/ math] podemos tener algo de [math] t \ in (0,1) [/ math] tal que [math] x = n + t [/ math] es una solución de la ecuación dada.