Cómo encontrar la solución integral particular de la ecuación diferencial parcial no homogénea utilizando el operador diferencial inverso

Answer 1

Esto parece ser complicado, y uno debe tener cuidado con la cantidad de datos de límites que conducirían a una solución única. Aquí hay un posible enfoque. El PDE de interés es

[matemáticas] \ frac {\ partial ^ 2 \ psi} {\ partial x ^ 2} + a \ frac {\ partial \ psi} {\ partial x} -b \ frac {\ partial ^ 2 \ psi} {\ partial x \ partial y} = \ sin (ax + b) \ dotsi (1) [/ math]

donde [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] son ​​constantes y [matemática] \ psi [/ matemática] es una función de [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática ] Primero, integremos parcialmente [math] (1) [/ math] wrt [math] x [/ math] obteniendo

[matemáticas] \ frac {\ partial \ psi} {\ partial x} + a \ psi-b \ frac {\ partial \ psi} {\ partial y} = \ phi (y) – \ frac {\ cos (ax + b)} {a} \ dotsi (2) [/ matemáticas]

donde [math] \ phi (y) [/ math] es una función arbitraria de [math] y [/ math] que debe precisarse más adelante. Como la ecuación [math] (2) [/ math] es una PDE no homogénea, su solución consistiría en la parte homogénea (indicada [math] \ psi_H [/ math]) que resuelve la PDE

[matemáticas] \ frac {\ partial \ psi_H} {\ partial x} + a \ psi_H-b \ frac {\ partial \ psi_H} {\ partial y} = 0 \ dotsi (3) [/ math]

y una solución particular (denotada [math] \ psi_P [/ math]) que resuelve [math] (2) [/ math]. Por lo tanto, la solución general sería [math] \ psi = \ psi_H + \ psi_P [/ math].

En este caso, la ecuación homogénea se resuelve fácilmente mediante la separación de variables o el método de características. Procederé con la separación de variables. Usando ansatz [math] \ psi_H (x, y) = X_H (x) Y_H (y) [/ math] en la ecuación [math] (3) [/ math] llegamos a

[matemáticas] \ frac {b} {Y_H} \ frac {\ mathrm {d} Y_H} {\ mathrm {d} y} – \ frac {1} {X_H} \ frac {\ mathrm {d} X_H} {\ mathrm {d} x} = a [/ math]

que produce dos EDO de primer orden

[matemática] \ frac {\ mathrm {d} Y_H} {\ mathrm {d} y} = \ frac {k} {b} Y_H \ Rightarrow C (k) \ mathrm {exp} \ left (\ frac {k} {b} y \ right) \ dotsi (4) [/ math]

y

[matemáticas] \ frac {\ mathrm {d} X_H} {\ mathrm {d} x} = (ka) X_H \ Rightarrow D (k) \ mathrm {exp} \ left ((ka) x \ right) \ dotsi ( 5) [/ matemáticas]

donde [math] k [/ math] es la constante de separación y [math] C (k) [/ math], [math] D (k) [/ math] son ​​constantes de integración. Componiendo ambos obtenemos

[math] \ psi_H = A (k) \ mathrm {exp} \ left ((ka) x + \ frac {k} {b} y \ right) \ dotsi (6) [/ math]

donde hemos redefinido [matemáticas] C (k) D (k) = A (k) [/ matemáticas]. Además, observando que la ecuación [matemáticas] (3) [/ matemáticas] es una ecuación lineal, la solución general viene dada por

[matemáticas] \ psi_H (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} A (k) \ mathrm {exp} \ left ((ka) x + \ frac {k} {b} y \ right ) \ mathrm {d} k \ dotsi (7) [/ math]

A continuación, pasamos a la ecuación [math] (2) [/ math], cuya solución es [math] \ psi_P [/ math]. En este caso, lamentablemente el ansatz anterior no funcionaría. Sin embargo, una solución de la forma [math] \ psi_P (x, y) = X_p (x) + Y_p (y) [/ math] podría resultar útil. Conectemos esto a la ecuación, obteniendo

[math] \ frac {\ mathrm {d} X_p} {\ mathrm {d} x} + aX_p + \ frac {\ cos (ax + b)} {a} = b \ frac {\ mathrm {d} Y_p} { \ mathrm {d} y} -aY_p + \ phi (y) = \ lambda \ dotsi (8) [/ math]

donde hemos introducido la constante de separación [math] \ lambda [/ math] en vista del hecho de que lhs es una función de [math] x [/ math] mientras que rhs es una función de [math] y [/ math ] Nuevamente, la ecuación [matemáticas] (8) [/ matemáticas] se divide en dos EDO de primer orden

[matemáticas] \ frac {\ mathrm {d} Y_p} {\ mathrm {d} y} – \ frac {a} {b} Y_p = \ frac {\ lambda- \ phi (y)} {b} [/ math ]

[math] \ frac {\ mathrm {d} X_p} {\ mathrm {d} x} + aX_p = \ frac {a \ lambda- \ cos (ax + b)} {a} [/ math]

que comparten la misma forma y se resuelven fácilmente mediante factores integradores. Las soluciones formales para cada uno se dan a continuación.

[matemáticas] Y_p = e ^ {\ frac {a} {b} y} \ left (C- \ frac {1} {b} \ int \ phi (y) e ^ {- \ frac {a} {b} y} \ mathrm {d} y \ right) – \ frac {\ lambda} {a} \ dots (9) [/ math]

[matemáticas] X_p = – \ frac {\ cos (ax + b) + \ sin (ax + b)} {2a ^ 2} + De ^ {- ax} + \ frac {\ lambda} {a} \ dotsi ( 10) [/ matemáticas]

[matemáticas] C [/ matemáticas] y [matemáticas] D [/ matemáticas] son ​​constantes arbitrarias. Antes de combinar estas soluciones, aprovechemos la arbitrariedad de [math] \ phi (y) [/ math] y redefinímoslo como

[matemáticas] \ phi (y) = – be ^ {\ frac {a} {b} y} \ frac {\ mathrm {d} \ eta (y)} {\ mathrm {d} y} [/ math]

después de lo cual, la solución particular completa se escribe como

[matemáticas] \ psi_p (x, y) = De ^ {- ax} + Ce ^ {\ frac {a} {b} y} – \ frac {\ cos (ax + b) + \ sin (ax + b) } {2a ^ 2} + \ eta (y) e ^ {\ frac {a} {b} y} [/ math]

donde [math] \ lambda [/ math] cancela obligatoriamente. Finalmente, podemos escribir la solución general como

[matemáticas] \ displaystyle \ psi (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} A (k) \ mathrm {exp} \ left ((ka) x + \ frac {k} {b} y \ right) \ mathrm {d} k + De ^ {- ax} – \ frac {\ cos (ax + b) + \ sin (ax + b)} {2a ^ 2} + \ eta (y) e ^ { \ frac {a} {b} y} \ dotsi (11) [/ math]

donde la constante arbitraria [matemática] C [/ matemática] ha sido absorbida en [matemática] \ eta (y) [/ matemática]. En esta etapa, uno tiene que ver cuántas condiciones de límite se necesitarían para determinar una solución única. Esta discusión, aunque enriquecedora, podría durar poco más que el tiempo que tengo en mi mano. Espero que la solución, puesta en el presente formulario, sea útil.

Salud !