Una llamada “ecuación diferencial ordinaria”, o ODE, es una ecuación que involucra dos variables, una dependiente, la otra independiente, y las derivadas totales (en oposición a parciales) de la primera con respecto a la segunda.
Un ejemplo de ODE es [matemática] \ left (\ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} \ right) ^ 3 – 3x \ frac {dx} {dt} + x – \ tan t = 0 [/ math ]
En el ejemplo anterior, [matemática] x [/ matemática] es la variable dependiente, [matemática] t [/ matemática] es la variable independiente, y el objetivo de una solución de ese ODE sería obtener una función [matemática] x = f (t) [/ math], que sería una curva en el plano [math] xt [/ math].
Ahora, el ejemplo que di arriba no lo voy a resolver, porque probablemente ni siquiera tiene una buena solución que podamos escribir explícitamente. La razón de esto es que la ecuación que escribí no es lineal , lo que significa la aparición de términos como [matemática] \ left (\ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} \ right) ^ 3 [/ math] y [math ] -3x \ frac {dx} {dt} [/ math], donde la variable dependiente y sus derivados son los argumentos de otras funciones (en el primer caso, la función de cubos, y en el segundo un producto). Además, es de segundo orden , lo que significa la aparición de un término que involucra la segunda derivada de [math] x [/ math] con respecto a [math] t [/ math] (ese es el primer término, que está en cubos).
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Un mejor ejemplo es [math] \ frac {dx} {dt} = -3x [/ math], que también se puede escribir como [math] \ frac {dx} {dt} + 3x = 0 [/ math].
Esto tiene una buena solución que se puede obtener a través de una serie de técnicas que aprenderá (si aún no lo ha hecho). La solución es [matemática] x (t) = x_0 e ^ {- 3t} [/ matemática], que puede verificar si cumple la ecuación diferencial. El coeficiente [math] x_0 [/ math] proviene de la constante de integración y debe incluirse en la solución general de una ecuación diferencial. En general, si tiene [matemáticas] n [/ matemáticas] (posiblemente acopladas) ecuaciones diferenciales ordinarias, necesitará [matemáticas] n [/ matemáticas] piezas de información distinta para obtener una solución particular .
Supongamos que se nos dice que cuando [math] t = 0 [/ math], es el caso de que [math] x = 5 [/ math]. Luego, sustituyéndolos en la solución general, obtenemos [math] x (0) = 5 = x_0 e ^ {- 3 \ times 0} = x_0 \ times 1 = x_0 [/ math]. Es decir, la información que se nos dio da como resultado [matemáticas] x_0 = 5 [/ matemáticas].
Ahora la solución particular es [matemáticas] x (t) = 5e ^ {- 3t} [/ matemáticas]. Esta es una curva (en particular, un exponencial decadente) en el plano [math] xt [/ math], que pasa por el punto [math] (0,5) [/ math].
En general, un sistema de EDO [matemática] n [/ matemática] definido para el cual existe una solución (que podría ser el caso incluso si no podemos escribir dicha solución en forma cerrada como acabamos de hacer para el ejemplo simple ) da como resultado una familia de curvas en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math].
Es decir, si tenemos un campo vectorial [math] \ frac {dx} {dt} = F (x) [/ math], donde [math] F: \ mathbb {R} ^ n \ to \ mathbb {R} ^ n [/ math], las soluciones se verán como [math] x (t) [/ math], de modo que [math] x: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ n [/ math].
Entonces el sistema
[matemáticas] \ begin {pmatrix} \ frac {dx} {dt} \\ \ frac {dy} {dt} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} y \\ -x \ end {pmatrix} [/ math ]
tiene soluciones que son curvas paramétricas en el plano. Es decir, las soluciones son de la forma
[matemáticas] \ begin {pmatrix} x (t) \\ y (t) \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} f (t) \\ g (t) \ end {pmatrix} [/ math]
parametrizado por [math] t [/ math] (a menudo referido como el tiempo ), que solo localmente podría escribirse como funciones [math] y (x) [/ math] (por el Teorema de la función implícita, que yo Espero que te encuentres, si aún no lo has hecho).
La mayor ayuda para la comprensión es encontrar soluciones. Cuanto más practiques dibujar curvas (tanto funciones como relaciones implícitas), mejor te irá.