¿Cómo se relaciona la ecuación del calor con los senos y cosenos?

Answer 1

Joseph Fourier, quien introdujo la serie Fourier mientras resolvía una forma matemática de describir cómo las transferencias de calor en una placa de metal publican sus resultados iniciales en su 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides (Tratado sobre la propagación del calor en cuerpos sólidos), y publicando su Théorie analytique de la chaleur (Teoría analítica del calor) en 1822. El Mémoire introdujo el análisis de Fourier, específicamente la serie de Fourier. A través de la investigación de Fourier, se estableció el hecho de que una función arbitraria (continua) puede ser representada por una serie trigonométrica.

Joseph Fourier estaba resolviendo una ecuación de conducción de calor inestable que no tenía problemas de generación interna de calor (conocida como ecuación de difusión) en la placa de metal y al final encontró una serie de funciones trigonométricas.

Aquí, la ecuación de conducción de calor es una ecuación diferencial parcial lineal no homogénea de orden superior. Como no se puede factorizar de manera lineal, la solución de prueba será

u = C e ^ (mx + nt)

poniendo esto en eqn obtenemos, n = km ^ 2 entonces, la solución general es

Ahora, aplicando condiciones de contorno,

Cuando x = 0, entonces ∂u / ∂x =

Como u (0, t) = 0, entonces ∂u / ∂x = 0, entonces, A = B

Cuando x = l entonces

Como u (l, t) = 0, entonces ∂u / ∂x = 0 Entonces e ^ (ml) = e ^ (- ml) pero esto es posible si y solo si m es complejo. let m = i P. Por lo tanto, solución general

Cuando t = 0, u (x, 0) = f (x)

Una serie periódica en términos de senos y cosenos. Entonces, (-π, π) a (-L, L)

P = 2π / 2L = π / L Entonces, Pn = nπ / L

Así se convierte,

dónde

Answer 2

La serie de Fourier fue un producto del hecho de que la ecuación dimensional de calor podría transformarse en una EDO de dimensiones infinitas (que tiene valores de eigen infinitos). El tratamiento simple de tales problemas radica en asumir que la temperatura (función del espacio y el tiempo) es un producto de funciones de una sola variable, que después de algunas simplificaciones resulta en un ODE que tiene valores Eigen infinitos, funciones Eigen asociadas, que resultan ser senos y cosenos, siempre que las condiciones de contorno sean periódicas. Cada coeficiente de la función propia (senos y cosenos) se recupera utilizando la condición de ortogonalidad.