[matemáticas] (x ^ 2 + xy) \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = x \ sqrt {x ^ 2-y ^ 2} + xy + y ^ 2 [/ math ]
[matemáticas] \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = \ dfrac {x \ sqrt {x ^ 2-y ^ 2} + xy + y ^ 2} {x ^ 2 + xy }[/matemáticas]
Esta es claramente una ecuación diferencial homogénea con grado [matemático] 2 [/ matemático]. Entonces, ahora ponemos, [math] y = vx [/ math]
[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {x \ sqrt {x ^ 2-v ^ 2 x ^ 2} + x ^ 2 v + v ^ 2 x ^ 2} {x ^ 2 + x ^ 2 v} [/ matemáticas]
- ¿Qué hace un diferencial como [math] d ^ 3 \ textbf {r} \ [/ math] en la ley Biot-Savart ([math] \ textbf {B} = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {\ text {J} (\ textbf {r}) \ times \ textbf {r}} {r ^ 3} d ^ 3 \ textbf {r} [/ math]) significa?
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[math] \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = \ dfrac {x ^ 2 \ sqrt {1-v ^ 2} + x ^ 2 v + v ^ 2 x ^ 2} {x ^ 2 + x ^ 2 v} [/ matemáticas]
Factorizar por [matemáticas] x ^ 2, [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = \ dfrac {x ^ 2 (\ sqrt {1-v ^ 2} + v + v ^ 2)} {x ^ 2 (1 + v)} [/ matemáticas]
[matemática] \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = \ dfrac {\ sqrt {1-v ^ 2} + v + v ^ 2} {1 + v} [/ math]
[matemática] v + x \ dfrac {\ mathrm {d} v} {dx} = \ dfrac {\ sqrt {1-v ^ 2} + v + v ^ 2} {1 + v} [/ math]
[matemática] x \ dfrac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x} = \ dfrac {\ sqrt {1-v ^ 2}} {1 + v} [/ math]
[math] x \ dfrac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x} = \ dfrac {\ sqrt {1-v}} {\ sqrt {1 + v}} [/ math]
Ahora, para hacer que el RHS sea [math] \ dfrac {\ mathrm {d} x} {x} [/ math], lo que hacemos es tomar el recíproco de ambos lados y multiplicar ambos lados por [math] dv [/matemáticas]
[matemática] \ dfrac {\ mathrm {d} x} {x} = \ dfrac {\ sqrt {1 + v}} {\ sqrt {1-v}} \ mathrm {d} v [/ math]
Integrar ambos lados,
[matemáticas] \ ln (x) + C = \ displaystyle \ \ int \ dfrac {\ sqrt {1 + v}} {\ sqrt {1-v}} \ mathrm {d} v [/ math]
[matemáticas] \ ln (x) + C = \ arcsin (v) – \ sqrt {1-v ^ 2} + C [/ matemáticas]
Ahora pon, [matemáticas] v = \ dfrac {y} {x}, [/ matemáticas]
[matemáticas] \ ln (x) + C = \ arcsin (\ dfrac {y} {x}) – \ dfrac {1} {x} \ sqrt {1-y ^ 2} + C [/ matemáticas]
Gracias por el A2A