Gracias Aritro por la buena pista. Aquí está la solución detallada que se ha hecho de manera tradicional.
[matemáticas] \ displaystyle {x ^ 3y ‘\ mathrm {sin} y = xy’ – 2y} \ qquad (1) [/ math]
Reemplazar [math] \ displaystyle {y ‘} [/ math] con [math] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x}} [/ math] y reformular la ecuación (1) para obtener:
[matemática] \ displaystyle {2y \ mathrm {d} x – x \ mathrm {d} y + x ^ 3 \ mathrm {sin} y \ mathrm {d} y = 0} \ qquad (2) [/ math]
- ¿Qué significa ‘sistema infinitamente suave’?
- ¿Puede la aceleración de un resorte ser modelada por e ^ ix?
- ¿Qué significa “[math] \ dot {x} = f (x), x (0) = 0, x \ in \ mathbb {R} ^ {n} [/ math]”?
- ¿Cómo resolvemos esta ecuación diferencial [matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} + 2y = e ^ xy ^ 2 [/ matemáticas]?
- ¿Qué significa “punto crítico”?
Teniendo en cuenta los primeros dos términos en (2), es decir, [math] \ displaystyle {2y \ mathrm {d} x – x \ mathrm {d} y} [/ math], es probable que puedan reescribirse en un diferencial total. Para este propósito, se debe encontrar un factor integral apropiado, digamos [math] \ displaystyle {\ mu} [/ math]. Suponga que [math] \ displaystyle {\ mu = \ mu (x)} [/ math] como una función variable única de [math] x [/ math].
Para encontrar [math] \ displaystyle {\ mu} [/ math], consulte el siguiente PDE:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ partial (2 \ mu y)} {\ partial y} = \ frac {\ partial (- \ mu x)} {\ partial x}} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle {2 \ mu = – \ mu ‘x – \ mu} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mu} {\ mu} = – \ frac {3} {x} \ mathrm {d} x} \ qquad (3) [/ math]
porque [math] \ displaystyle {\ mu ‘= \ frac {\ mathrm {d} \ mu} {\ mathrm {d} x}} [/ math]
Integrando (3) para una solución particular. Así:
[matemáticas] \ displaystyle {\ mu = \ mu (x) = \ frac {1} {x ^ 3} = x ^ {- 3}} \ qquad (4) [/ matemáticas]
Ahora multiplicando ambos lados de (2) por el factor integral que viene dado por (4) para tener:
[math] \ displaystyle {2yx ^ 3 \ mathrm {d} x – x ^ {- 2} \ mathrm {d} y + \ mathrm {sin} y \ mathrm {d} y = 0} [/ math]
[math] \ displaystyle {-y \ mathrm {dx ^ {- 2} – x ^ {- 2} \ mathrm {d} y} + \ mathrm {sin} y \ mathrm {d} y = 0} [/ math ]
[math] \ displaystyle {\ mathrm {sin} y \ mathrm {d} y – \ mathrm {d} (yx ^ {- 2}) = 0} [/ math]
Al integrar esta ecuación se obtiene:
[math] \ displaystyle {\ mathrm {cos} y + yx ^ {- 2} = C = \ text {constant}} [/ math]
Esto muestra la solución general que estamos buscando.