La suavidad de una función se refiere a cuántas derivadas de la función siguen siendo continuas. Es una expresión coloquial y a menudo se usa en frases como “Infinitamente suave”, “Suficientemente suave”, etc.
Como está trabajando con ecuaciones diferenciales, supondré que sabe lo que significan tanto la continuidad como la diferenciabilidad. Luego, puede comenzar a agrupar funciones según la cantidad de derivadas continuas que tengan (es decir, cuán suaves son, ya que una derivada discontinua le da ángulos).
Comenzamos con todas las funciones que son continuas, este es un conjunto bastante grande y se denota por [math] C ^ 0 [/ math]
Luego consideramos funciones que son diferenciables y cuya derivada es continua, este conjunto se llama [math] C ^ 1 [/ math] (dado que una función diferenciable también es continua, el conjunto [math] C ^ 1 [/ math] será un subconjunto de [matemáticas] C ^ 0 [/ matemáticas], este será el comportamiento general).
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Luego puede pasar a funciones que son dos, tres, etc. diferenciables y que esa derivada sea continua, a las que se hace referencia como [matemáticas] C ^ n [/ matemáticas]
Finalmente, está el conjunto que contiene las funciones que pueden diferenciarse una cantidad infinita de veces y aún así producir una función continua. Esto, obviamente, se llama C ^ {\ infty}. Muchas de las funciones que conoce pertenecen realmente a este conjunto: [matemáticas] \ cos [/ matemáticas], [matemáticas] \ sin [/ matemáticas], polinomios, etc.
Ahora podemos entender lo que la gente quiere decir con suavidad. A pesar de que no es un término riguroso, queda claro: “Suavemente suficiente” significa que las funciones con las que está trabajando están en una [matemática] C ^ n [/ matemática] que nunca tendrá que preocuparse por la diferenciabilidad en el contexto de el problema.
Infinitamente suave básicamente significa lo mismo, excepto que espera que las funciones se encuentren en [math] C ^ {\ infty}. [/ Math]
Para dar un poco de contraste. En cierto punto, encontrará problemas en los que las respuestas pueden ser discontinuas en cierto punto. De hecho, las cosas interesantes generalmente ocurren en esos puntos.