Según la solución de “Dzung Nguyen” hasta este paso:
[matemáticas] u’- \ dfrac {(x + 1)} {x} u = x [/ matemáticas]… .. (i)
Aquí, estamos describiendo una forma más de resolver la ecuación:
Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden (LDE), porque en esta ecuación, el poder de [matemáticas] u [/ matemáticas] y el orden de su derivada [matemáticas] \ dfrac {du} {dx} [/ matemáticas], es [ matemáticas] 1 [/ matemáticas].
- ¿Cómo debo prepararme para una clase de ecuaciones diferenciales: dinámica y caos?
- Cómo encontrar la solución general a la ecuación [matemáticas] y ^ {”} – 2y ^ {‘} + 2y = e ^ x + x \ cos x [/ matemáticas]
- Cómo encontrar la solución general a la ecuación [matemáticas] y ^ {‘} = \ frac {2x} {x ^ 2 \ cos y + \ sin 2y} [/ matemáticas]
- Cómo encontrar la solución a la ecuación [matemáticas] (x ^ 2 + y ^ 2 + 2x) dx + 2ydy = 0 [/ matemáticas] que satisface [matemáticas] y (0) = 1 [/ matemáticas]
- ¿Cuál es la mejor manera de estudiar para ecuaciones diferenciales?
Comparación con la forma estándar de LDE:
Forma estándar: [matemática] y ‘+ P (x) y = Q (x) [/ matemática]… .. (ii)
Ecuación: [matemáticas] u’- \ dfrac {x + 1} {x} u = x [/ matemáticas]
Al comparar, obtenemos,
[matemáticas] P (x) = – \ dfrac {x + 1} {x}, Q (x) = x [/ matemáticas]
Solución general de la ecuación diferencial lineal de primer orden:
La solución general es,
[matemática] y × IF = \ int Q (x) × IF dx [/ matemática]
Entonces, la solución de la ecuación (i) será
[matemática] u × IF = \ int x × IF dx [/ matemática]
Cómo encontrar el factor integrador:
IF = [matemáticas] e ^ {\ int P (x) dx} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] En la ecuación (i),
[matemáticas] P (x) = – \ dfrac {x + 1} {x} = – 1- \ dfrac {1} {x} [/ matemáticas]
[matemática] \ por lo tanto [/ matemática] SI = [matemática] e ^ {\ int \ left (-1- \ frac {1} {x} \ right) dx} = e ^ {[- x- \ ell nx] }[/matemáticas]
[matemáticas] = e ^ {- x} \ cdot e ^ {- \ ell nx} = e ^ {- x} \ cdot e ^ {\ ell nx ^ {- 1}} [/ matemáticas]
IF = [matemáticas] e ^ {- x} \ cdot x ^ {- 1} = \ dfrac {e ^ {- x}} {x} [/ matemáticas]
Ponga el valor de IF en la ecuación (iii)
[matemáticas] u × \ dfrac {e ^ {- x}} {x} = \ displaystyle \ int x × \ dfrac {e ^ {- x}} {x} dx [/ math]
[matemáticas] \ dfrac {ue ^ {- x}} {x} = -e ^ {- x} + C [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {u} {x} = -1 + Ce ^ {x} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ porque u = \ sqrt {y ^ 2 + 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ por lo tanto \ dfrac {\ sqrt {y ^ 2 + 1}} {x} = – 1 + Ce ^ x [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {\ sqrt {y ^ 2 + 1}} {x} + 1 = Ce ^ x [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sqrt {y ^ 2 + 1} + x = x \, C \, e ^ x [/ matemáticas]
Esta es la solución del problema dado.
Para el estudio detallado, debemos entender la razón detrás de cada paso.
Condiciones para la ecuación diferencial lineal de primer orden:
Si una ecuación cumple las siguientes condiciones:
(1) El poder de la función [math] y [/ math] y el orden de su derivada es [math] 1. [/ Math]
(2) No hay productos de funciones [math] (y) [/ math] y su derivada [math] \ left (\ dfrac {dy} {dx} \ right) [/ math].
(3) Está en la forma
[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} + P (x) y = Q (x) [/ matemáticas]
Motivo para multiplicar con IF:
[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} + P (x) y = Q (x) [/ matemáticas]
Como no es posible encontrar una fórmula específica para resolver este tipo de ecuaciones,
[matemática] \ por lo tanto [/ matemática] El factor de integración se multiplica a ambos lados de la ecuación para convertirlo en una forma separable variable.