Cómo encontrar la solución general a la ecuación [matemáticas] xyy ^ {‘} – x ^ 2 \ sqrt {y ^ 2 + 1} = (x + 1) (y ^ 2 + 1) [/ matemáticas]

Según la solución de “Dzung Nguyen” hasta este paso:

[matemáticas] u’- \ dfrac {(x + 1)} {x} u = x [/ matemáticas]… .. (i)

Aquí, estamos describiendo una forma más de resolver la ecuación:

Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden (LDE), porque en esta ecuación, el poder de [matemáticas] u [/ matemáticas] y el orden de su derivada [matemáticas] \ dfrac {du} {dx} [/ matemáticas], es [ matemáticas] 1 [/ matemáticas].

Comparación con la forma estándar de LDE:

Forma estándar: [matemática] y ‘+ P (x) y = Q (x) [/ matemática]… .. (ii)

Ecuación: [matemáticas] u’- \ dfrac {x + 1} {x} u = x [/ matemáticas]

Al comparar, obtenemos,

[matemáticas] P (x) = – \ dfrac {x + 1} {x}, Q (x) = x [/ matemáticas]

Solución general de la ecuación diferencial lineal de primer orden:

La solución general es,

[matemática] y × IF = \ int Q (x) × IF dx [/ matemática]

Entonces, la solución de la ecuación (i) será

[matemática] u × IF = \ int x × IF dx [/ matemática]

Cómo encontrar el factor integrador:

IF = [matemáticas] e ^ {\ int P (x) dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] En la ecuación (i),

[matemáticas] P (x) = – \ dfrac {x + 1} {x} = – 1- \ dfrac {1} {x} [/ matemáticas]

[matemática] \ por lo tanto [/ matemática] SI = [matemática] e ^ {\ int \ left (-1- \ frac {1} {x} \ right) dx} = e ^ {[- x- \ ell nx] }[/matemáticas]

[matemáticas] = e ^ {- x} \ cdot e ^ {- \ ell nx} = e ^ {- x} \ cdot e ^ {\ ell nx ^ {- 1}} [/ matemáticas]

IF = [matemáticas] e ^ {- x} \ cdot x ^ {- 1} = \ dfrac {e ^ {- x}} {x} [/ matemáticas]

Ponga el valor de IF en la ecuación (iii)

[matemáticas] u × \ dfrac {e ^ {- x}} {x} = \ displaystyle \ int x × \ dfrac {e ^ {- x}} {x} dx [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {ue ^ {- x}} {x} = -e ^ {- x} + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {u} {x} = -1 + Ce ^ {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ porque u = \ sqrt {y ^ 2 + 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto \ dfrac {\ sqrt {y ^ 2 + 1}} {x} = – 1 + Ce ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {\ sqrt {y ^ 2 + 1}} {x} + 1 = Ce ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {y ^ 2 + 1} + x = x \, C \, e ^ x [/ matemáticas]

Esta es la solución del problema dado.

Para el estudio detallado, debemos entender la razón detrás de cada paso.

Condiciones para la ecuación diferencial lineal de primer orden:

Si una ecuación cumple las siguientes condiciones:

(1) El poder de la función [math] y [/ math] y el orden de su derivada es [math] 1. [/ Math]

(2) No hay productos de funciones [math] (y) [/ math] y su derivada [math] \ left (\ dfrac {dy} {dx} \ right) [/ math].

(3) Está en la forma

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} + P (x) y = Q (x) [/ matemáticas]

Motivo para multiplicar con IF:

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} + P (x) y = Q (x) [/ matemáticas]

Como no es posible encontrar una fórmula específica para resolver este tipo de ecuaciones,

[matemática] \ por lo tanto [/ matemática] El factor de integración se multiplica a ambos lados de la ecuación para convertirlo en una forma separable variable.

[matemáticas] \ displaystyle {xyy ‘- x ^ 2 \ sqrt {y ^ 2 + 1} = (x + 1) (y ^ 2 + 1)} \ qquad (1) [/ math]

Como [math] \ displaystyle {y ^ 2 + 1> 0 \ quad \ forall \, y \ in \ mathbb {R}} [/ math], la ecuación (1) se reescribe de manera equivalente como:

[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {xyy ‘} {\ sqrt {y ^ 2 + 1}} – x ^ 2 = (x + 1) \ sqrt {y ^ 2 + 1}} [/ math]

Deje [math] \ displaystyle {u = \ sqrt {y ^ 2 + 1} \ Rightarrow u ‘= \ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x} = \ frac {aa’} {\ sqrt {y ^ 2 + 1}}} [/ math]. Entonces la ecuación anterior se convierte en:

[matemáticas] \ displaystyle {xu ‘- x ^ 2 = (x + 1) u} \ qquad (2) [/ matemáticas]

La ecuación (2) ahora se convierte en una ecuación de oda de primer orden estándar. Esto es cierto ya que al dividir sus dos lados entre [math] \ displaystyle {x \ ne 0} [/ math], tenemos:

[matemáticas] \ displaystyle {u ‘- \ frac {x + 1} {x} u = x} \ qquad (3) [/ matemáticas]

Esta ecuación está lista para resolver usando cualquier método convencional. Por la presente, hacemos uso de otro remedio que es un poco complicado. De (2), reformulando la ecuación (3) como sigue:

[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {u’x – u} {x ^ 2} – \ frac {u} {x} = 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ left (\ frac {u} {x} \ right) – \ frac {u} {x} = 1} [ /matemáticas]

Deje [math] \ displaystyle {v = \ frac {u} {x}} [/ math], la ecuación anterior se convierte en:

[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x} – v = 1} \ qquad (4) [/ math]

La ecuación (4) también es una oda pero más fácil en comparación con la ecuación (3), ya que de hecho es una oda separable. Por lo tanto:

[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v} {v + 1} = \ mathrm {d} x} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle {v + 1 = Ce ^ x} [/ matemáticas]

donde [math] \ displaystyle {C} [/ math] es una cierta constante

Al llegar a la variable original, la solución general viene dada por:

[matemáticas] \ displaystyle {\ sqrt {y ^ 2 + 1} + x = Ce ^ x} \ qquad \ square [/ math]