No sé si todas estas preguntas sobre ecuaciones diferenciales que he visto en Quora últimamente son suyas, si lo son, le sugiero que trate de comenzar algo antes de publicar la pregunta aquí. Este es claramente un problema que podría salirse directamente de un libro o una hoja de problemas.
[matemáticas] (x ^ 2 + y ^ 2 + 2 x) dx + 2 y dy = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2 + 2 x = – y ^ 2 – 2 y y ‘[/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2 + \ frac {d} {dx} x ^ 2 = – (y ^ 2 + \ frac {d} {dx} y ^ 2) [/ matemáticas]
- ¿Cuál es la mejor manera de estudiar para ecuaciones diferenciales?
- ¿Cómo es [math] (y + x ^ 2 y ^ 2) \, \ mathrm {d} x – x \, \ mathrm {d} y = 0 [/ math] una ecuación diferencial homogénea?
- Cómo resolver la ecuación diferencial [matemática] (x ^ 2 + xy) y ‘= x \ sqrt {x ^ 2-y ^ 2} + xy + y ^ 2 [/ matemática] y encontrar una solución particular que satisfaga [matemática] y (1) = 1 [/ matemáticas]
- ¿Qué hace un diferencial como [math] d ^ 3 \ textbf {r} \ [/ math] en la ley Biot-Savart ([math] \ textbf {B} = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {\ text {J} (\ textbf {r}) \ times \ textbf {r}} {r ^ 3} d ^ 3 \ textbf {r} [/ math]) significa?
- ¿Qué curso de matemáticas es más fácil con ecuaciones diferenciales o álgebra lineal?
Parece que si elegimos [matemáticas] x ^ 2 = -y ^ 2 [/ matemáticas], entonces esta ecuación se mantendrá. Sin embargo, [matemáticas] x ^ 2 = – y ^ 2 [/ matemáticas] no tiene ninguna solución real, y obviamente no obedece a [matemáticas] y (0) = 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, debemos ser un poco más cuidadosos.
Primero reescribimos [matemática] y ^ 2 = z [/ matemática], luego esta ecuación dice:
[matemáticas] x ^ 2 + 2 x = – (z + z ‘) [/ matemáticas]
Eche un vistazo a esta ecuación en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]:
[matemáticas] z + z ‘= 0 [/ matemáticas]
Que se resuelve por:
[matemáticas] z_0 = C_0 e ^ x. [/ matemáticas]
Sabemos que [math] z_0 [/ math] resuelve la solución homogénea (creo que técnicamente no se llama solución homogénea ya que x no es una constante, pero ten paciencia conmigo), así que también sabemos que la ecuación es lineal en z, entonces cualquier solución es siempre una suma de [math] z_0 [/ math] más algo que resuelve la parte no homogénea. En otras palabras: [matemáticas] z = z_0 + z_1 [/ matemáticas]
Ahora es crucial volver a lo que hicimos antes. Al principio teníamos [matemáticas] x ^ 2 = – y ^ 2 = – z [/ matemáticas]. Eso no funcionó debido a las condiciones de contorno y al hecho de que la solución será compleja. Sin embargo, podemos resolver las condiciones de contorno con la solución homogénea. [matemática] z_0 (0) = C_0 e ^ 0 = C_0 = 1 [/ matemática]. Entonces [matemáticas] z_0 = e ^ x [/ matemáticas]. Si comienza a resolver esto, verá que la complejidad tampoco es un problema:
Como la solución para z será escrita por [math] z = z_0 + z_1 [/ math], ahora podemos escribir:
[matemáticas] y ^ 2 = z = e ^ x – x ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] y = (\ pm) \ sqrt {-x ^ 2 + e ^ x} [/ matemáticas]
[matemática] y (0) = \ pm \ sqrt {-0 + 1} = 1 [/ matemática]
Entonces la solución es:
[matemáticas] y = \ sqrt {-x ^ 2 + e ^ x} [/ matemáticas]
Esta solución es real siempre que [matemática] e ^ x – x ^ 2> 0 [/ matemática], esto resuelva a [matemática] x> -0.703567… [/ matemática]
Puede verificar esto a mano para ver si es correcto (lo es).