Cómo encontrar la solución general a la ecuación [matemáticas] y ^ {‘} = \ frac {2x} {x ^ 2 \ cos y + \ sin 2y} [/ matemáticas]

Answer 1

Es una ecuación diferencial de primer orden debido a [math] \ dfrac {dy} {dx} [/ math]

Pero también tenemos que averiguar qué tipo de ecuación diferencial es, para encontrar su solución relevante.

Simplificación de la ecuación:

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {2x} {x ^ 2 \; cos \, y + sin \, 2y} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dx} {dy} = \ dfrac {x ^ 2 \; cos \, y + sin \, 2y} {2x} = \ left (\ dfrac {cos \, y} {2} \ right ) x + \ left (\ dfrac {sin \, 2y} {2} \ right) x ^ {- 1} [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {dx} {dy} – \ left (\ dfrac {cos \, y} {2} \ right) x = \ left (\ dfrac {sin \, 2y} {2} \ right) x ^ {-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dx} {dy} + \ left (\ dfrac {-cos \, y} {2} \ right) x = \ left (\ dfrac {sin \, 2y} {2} \ right) x ^ {- 1} [/ matemáticas]… (i)

Identificación del tipo de ecuación diferencial:

[matemáticas] \ porque [/ matemáticas] La ecuación (i) tiene la forma

[matemáticas] \ dfrac {dx} {dy} + P (y) x = x ^ n Q (y) [/ matemáticas]… (ii)

donde [matemáticas] n \ neq 0, 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto \; [/ matemáticas] Es la ecuación diferencial de Bernoulli.

Ahora, al comparar las ecuaciones (i) y (ii), obtenemos:

[matemáticas] P (y) = – \ dfrac {cos \, y} {2}, \; Q (y) = \ dfrac {sin \, 2y} {2} [/ matemáticas]

y [matemáticas] n = -1 [/ matemáticas]

Solución de la ecuación diferencial de Bernoulli:

[matemáticas] \ porque [/ matemáticas] No hay una fórmula directa para resolver este tipo de ecuación.

Entonces, lo convertimos en una ecuación diferencial lineal de primer orden y luego la resolvemos usando el método relevante.

En la ecuación (i), divida ambos lados entre [matemáticas] x ^ {- 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {x ^ {- 1}} \ dfrac {dx} {dy} + \ left (\ dfrac {-cos \, y} {2} \ right) x \ cdot \ dfrac {1 } {x ^ {- 1}} = \ left (\ dfrac {sin \, 2y} {2} \ right) x ^ {- 1} \ cdot \ dfrac {1} {x ^ {- 1}} [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ dfrac {dx} {dy} + \ left (\ dfrac {-cos \, y} {2} \ right) x ^ 2 = \ left (\ dfrac {sin \, 2y} {2} \ derecha) [/ matemáticas]… (iii)

Ahora,

Deje, [matemáticas] x ^ 2 = t [/ matemáticas]

[matemáticas] 2x \, dx = dt [/ matemáticas]

[matemáticas] x \, dx = \ dfrac {dt} {2} [/ matemáticas]

Ponga los valores de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] x \, dx [/ matemáticas] en la ecuación (iii)

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} \ dfrac {dt} {dy} + \ left (\ dfrac {-cos \, y} {2} \ right) t = \ dfrac {sin \, 2y} {2 }[/matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} \ left [\ dfrac {dt} {dy} + (-cos \, y) \, t \ right] = \ dfrac {1} {2} (sin \, 2y )[/matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dt} {dy} + (-cos \, y) t = sin \, 2y [/ matemáticas] … (iv)

[matemáticas] \ porque \; [/ math] La ecuación (iv) tiene la forma

[matemáticas] \ dfrac {dt} {dy} + P (y) t = Q (y) [/ matemáticas]… (v)

Entonces, es una ecuación diferencial lineal de primer orden.

Al comparar la ecuación (iv) y (v), obtenemos:

[matemáticas] P (y) = – cos \, y [/ matemáticas] y [matemáticas] Q (y) = sen \, 2y [/ matemáticas]

Solución de ecuación diferencial lineal de primer orden:

[matemáticas] t × IF = \ int Q (y) × IF \; dy [/ math]… (vi)

donde, IF es el factor integrador.

Cómo encontrar IF:

[matemáticas] IF = e ^ {\ int P (y) dy} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ porque P (y) = – cos \, y [/ matemáticas]

[matemática] \ por lo tanto IF = e ^ {\ int – cos \, y} = e ^ {- sin \, y} [/ math]

Ponga los valores de IF y [math] Q (y) [/ math] en la ecuación (vi)

[matemáticas] t × e ^ {- sin \, y} = \ int sin \, 2y × e ^ {- sin \, y} dy [/ matemáticas]… (vii)

Solución de RHS:

[matemáticas] \ int sin \, 2y × e ^ {- sin \, y} dy = \ int 2 \, sin \, y \; cos \, y × e ^ {- sin \, y} \, dy [ /matemáticas]

Dejar,

[matemáticas] -sin \, y = r [/ matemáticas]

[matemáticas] cos \, y \; dy = – dr [/ math]

[matemáticas] = 2 \ int (-r) \, e ^ {r} \, (-dr) = 2 \ int r \ cdot e ^ {r} \, dr [/ matemáticas] … (viii)

Aquí, tenemos un producto de dos funciones en integración, por lo que aplicamos la integración por partes, método.

[matemáticas] \ int u \, dv = uv – \ int v \, du [/ matemáticas]… (ix)

Aquí, [math] u [/ math] y [math] dv [/ math] deben decidirse según el orden de ILATE.

Al comparar las ecuaciones (viii) y (ix), obtenemos:

[matemáticas] \ porque \; u = r [/ matemáticas] y [matemáticas] dv = e ^ {r} \; dx [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto \; du = dr [/ matemáticas] y [matemáticas] v = e ^ {r} [/ matemáticas]

Ponga los valores de [math] u, v, du [/ math] y [math] dv [/ math] en la ecuación (ix)

[matemáticas] \ int r \ cdot e ^ {r} \; dr = r \ cdot e ^ {r} – \ int e ^ {r} \; dr = r \ cdot e ^ {r} – e ^ {r} [/ math]

Así, la expresión (viii) se convierte en,

[matemáticas] = 2 \ int r \ cdot e ^ {r} \, dr = 2 [r \ cdot e ^ {r} -e ^ {r}] = 2e ^ {r} [r-1] [/ math ]

[matemáticas] = 2 e ^ {- sin \, y} [- sin \, y-1] = – 2e ^ {- sin \, y} (sin \, y + 1) [/ matemáticas]

Entonces,

[matemática] \ en caja {\ int sin \, 2y × e ^ {- sin \, y} dy = – 2 e ^ {- sin \, y} (siny + 1) + C} [/ matemática]

Ahora, colocamos el valor de RHS de la ecuación (x) en la ecuación (vii)

[matemáticas] t × e ^ {- sin \, y} = – 2e ^ {- sin \, y} (sin \, y +1) + C [/ matemáticas]

[matemática] t = – 2 (sin y + 1) + \ dfrac {C} {e ^ {- sin \, y}} [/ matemática]

[matemáticas] \ porque \ en caja {t = x ^ 2} [/ matemáticas]

[math] \ boxed {x ^ 2 = -2 (1 + sin \, y) + C e ^ {sin \, y}} [/ math]

Es la solución de la ecuación diferencial de Bernoulli dada.

Answer 2

[matemáticas] \ displaystyle {y ‘= \ frac {2x} {x ^ 2 \ mathrm {cos} y + \ mathrm {sin} 2y}} [/ math]

[math] \ displaystyle {(x ^ 2 \ mathrm {cos} y + 2 \ mathrm {sin} y \ mathrm {cos} y) \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = 2x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle {(x ^ 2 + 2 \ mathrm {sin} y) \ mathrm {cos} y \ mathrm {d} y = 2x \ mathrm {d} x} \ qquad (1) [/ math]

Deje [math] \ displaystyle {u = \ mathrm {sin} y} [/ math], la ecuación (1) se convierte en:

[math] \ displaystyle {(x ^ 2 + 2u) \ mathrm {d} u = 2x \ mathrm {d} x} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle {2x \ mathrm {d} x – (x ^ 2 + 2u) \ mathrm {d} u = 0} \ qquad (2) [/ math]

Multiplicando ambos lados de (2) por [math] \ displaystyle {e ^ {- u}} [/ math] produce:

[matemáticas] \ displaystyle {2xe ^ {- u} \ mathrm {d} x – x ^ 2e ^ {- u} \ mathrm {d} u – 2ue ^ {- u} \ mathrm {d} u = 0} [ /matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle {e ^ {- u} \ mathrm {d} x ^ 2 + x ^ 2 \ mathrm {d} e ^ {- u} = 2ue ^ {- u} \ mathrm {d} u} [ /matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle {\ mathrm {d} \ left (x ^ 2e ^ {- u} \ right) = 2ue ^ {- u} \ mathrm {d} u} \ qquad (3) [/ math]

La integración de ambos lados de (3) produce:

[matemáticas] \ displaystyle {x ^ 2e ^ {- u} = 2 \ int ue ^ {- u} \ mathrm {d} u = -2 \ int u \ mathrm {d} e ^ {- u} = -2 \ left (ue ^ {- u} – \ int e ^ {- u} \ mathrm {d} u \ right) = -2 \ left (ue ^ {- u} + \ int \ mathrm {d} e ^ { -u} \ right) = -2 (1 + u) e ^ {- u} + C} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle {(x ^ 2 + 2u + 2) e ^ {- u} = C} \ qquad (4) [/ matemáticas]

donde [matemáticas] C [/ matemáticas] es una constante

Volviendo con las variables originales, (4) nos da la solución general:

[matemáticas] \ displaystyle {(x ^ 2 + 2 \ mathrm {sin} y + 2) e ^ {- \ mathrm {sin} y} = C} [/ math]

Answer 3

Primero, observe que puede factorizar [math] \ cos y [/ math] porque [math] \ sin 2y = 2 \ sin y \ cos y [/ math]. Eso le permite simplificar un poco la ecuación haciendo una sustitución [math] z = \ sen y [/ math], por lo que la nueva ecuación es [math] z ‘= \ frac {2x} {x ^ 2 + 2z} [/ matemáticas]. A continuación, puede observar [matemática] x ^ 2 [/ matemática] y [matemática] 2x [/ matemática] e intentar sustituir la variable independiente; [matemáticas] \ xi = x ^ 2 [/ matemáticas]. Usando la regla de la cadena para la diferenciación, puede encontrar la ecuación transformada [matemáticas] \ frac {dz} {d \ xi} = \ frac {1} {\ xi + 2z} [/ matemáticas]. Finalmente, puede eliminar la variable independiente haciendo [math] z = – \ xi / 2 + f [/ math], de modo que [math] f [/ math] satisfaga una ecuación simple [math] \ frac {df} { d \ xi} – \ frac {1} {2} = \ frac {1} {2f} [/ math] que se puede resolver de manera trivial. Una vez que tenga la solución general en términos de [math] f \ ,, \ xi [/ math] puede regresar y encontrar la solución en términos de las variables originales, no lo molestaré con los detalles.

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Otra forma es cambiar las variables dependientes e independientes, de modo que

[matemática] 2x \ frac {dx} {dy} = x ^ 2 \ cos y + \ sin 2y [/ matemática], luego sustituya [matemática] p = x ^ 2 [/ matemática], la ecuación se convierte en [matemática] \ frac {dp} {dy} = p \ cos y + \ sin 2y [/ math]. Esta es una ecuación lineal que se puede resolver fácilmente: [matemática] x ^ 2 = C e ^ {\ sin y} -2 (1+ \ sin y) [/ matemática], donde [matemática] C [/ matemática] es Una constante arbitraria. Esto define [math] y (x) [/ math] implícitamente.

Answer 4

Primero cambiemos la variable, llame a [math] z = \ sin {y} [/ math]

Entonces

[matemáticas] y = \ arcsin {z} [/ matemáticas]

[matemáticas] y ‘= \ frac {dy} {dx} = \ frac {1} {\ sqrt {1-z ^ 2}} \ frac {dz} {dx} = \ frac {z’} {\ sqrt { 1-z ^ 2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin {y} = z [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos {y} = \ cos {\ arcsin {z}} = \ sqrt {1- z ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin {2y} = 2 \ cos {y} \ sin {y} = 2 z \ sqrt {1 – z ^ 2} [/ matemáticas]

Entonces:

[matemáticas] \ frac {z ‘} {\ sqrt {1-z ^ 2}} (x ^ 2 \ sqrt {1-z ^ 2} + 2 z \ sqrt {1-z ^ 2}) = 2x [/ matemáticas]

O

[matemáticas] (x ^ 2 z ‘+ 2 z z’) = 2 x [/ matemáticas]

Desafortunadamente, esto no tiene una solución en términos de funciones habituales, sino que se resuelve con

[matemáticas] z (x) = -1 – \ frac {x ^ 2} {2} – Registro de productos [-e ^ {- 1 – \ frac {x ^ 2} {2} + C_1}] [/ matemáticas]

sobre el cual:

[matemáticas] y = \ arcsin {z} = \ arcsin (-1 – \ frac {x ^ 2} {2} – ProductLog [-e ^ {- 1 – \ frac {x ^ 2} {2} + C_1} ])[/matemáticas]

Si [math] w = ProductLog [z] [/ math], esto se define como la solución para:

[matemáticas] z = nosotros ^ w [/ matemáticas]

Esto no se puede expresar en otras funciones.