Cómo encontrar la solución general a la ecuación [matemáticas] y ^ {”} – 2y ^ {‘} + 2y = e ^ x + x \ cos x [/ matemáticas]

Answer 1

Obviamente, esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden de la forma,

[matemáticas] a \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} (y) + b \ frac {dy} {dx} (y) + c (y) = f (x) [/ matemáticas]

Si [math] D = \ frac {d} {dx} [/ math], el operador diferencial, [math] D (y) = \ frac {dy} {dx} [/ math]

[matemáticas] (aD ^ 2 + bD + c) y = f (x) [/ matemáticas]

Los corchetes contienen nuestra ecuación auxiliar, de la forma [math] am ^ 2 + bm + c = 0 [/ math], que se puede resolver por factorización. Debes resolver para [math] m [/ math].

Las raíces son imaginarias, por lo que las raíces son [matemáticas] \ alpha + i \ beta [/ matemáticas], [matemáticas] \ alfa-i \ beta [/ matemáticas]

Usando la fórmula de Euler, [matemáticas] e ^ {i \ pi} = cos (x) + isin (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] y = e ^ {\ alpha x} (Acos ​​(\ beta x) + Bsin (\ beta x)) [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ x (Acos ​​(x) + Bsin (x)) [/ matemáticas]

Este es nuestro CF

También podemos usar el PI,

[matemáticas] \ int \ frac {f (x)} {\ phi (D)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {\ phi (D)} \ veces f (x) [/ matemáticas]

La solución completa es CF + PI

Aquí tenemos,

[matemáticas] D ^ 2y-2Dy + 2y = e ^ x + xcos (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] (D ^ 2-2D + 2) y = e ^ x + xcos (x) [/ matemáticas]

Nuestra ecuación auxiliar es,

[matemáticas] m ^ 2-2m + 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] m = 1 + i, 1-i [/ matemáticas]

[matemáticas] \ alpha = 1, \ beta = 1 [/ matemáticas]

Tenemos este caso que surge cuando las raíces son imaginarias, entonces, CF,

[matemáticas] e ^ {x} (Acos ​​(x) + Bsin (x)) [/ matemáticas]

Nuestro PI tiene dos partes y, (primero intentemos la segunda parte)

es un poco confuso porque tenemos [matemática] x [/ matemática] y [matemática] \ [/ matemática] [matemática] cos (x) [/ matemática] que crea una tez porque,

Podemos calcular cuándo [matemática] f (x) = e ^ {ax} [/ matemática], [matemática] f (x) = e ^ {ax} x ^ n [/ matemática] y [matemática] f (x) = cos (ax) [/ math]

Pero, cuando [math] cos (x) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} [/ math], podemos obtener dos partes de esto.

[matemáticas] \ frac {1} {(D ^ 2-2D + 2} \ veces \ frac {xe ^ {ix} + xe ^ {- ix}} {2} [/ matemáticas]

Podemos descomponer nuevamente esto en partes llevando [math] \ frac {1} {2} [/ math] al frente y luego tratando [math] xe ^ {ix} [/ math] y [math] xe ^ {- ix} [/ math] como diferentes funciones.

[matemáticas] \ frac {1} {2} (\ frac {1} {D ^ 2-2D + 2} xe ^ {ix}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {2} (\ frac {1} {D ^ 2-2D + 2} xe ^ {- ix}) [/ matemáticas]

Tenemos dos PI de la forma [matemáticas] xe ^ {rx} [/ matemáticas] y poner [matemáticas] D = D + r = D + i [/ matemáticas] (primer caso) y [matemáticas] D = D + r = Di [/ matemáticas] (segundo caso)

[matemáticas] \ frac {1} {2} (e ^ {ix} \ frac {1} {D ^ 2 + (2i-2) D-2i + 1} x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {2} (e ^ {- ix} \ frac {1} {D ^ 2- (2i-2) D-2i + 1} x) [/ matemáticas]

Ahora, puede tomar el denominador y factorizar por [matemáticas] D, [/ matemáticas] (solo los dos primeros términos)

[matemáticas] \ frac {1} {2} (e ^ {ix} \ frac {1} {D (D + (2i-2)) + (1-2i)} x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {2} (e ^ {- ix} \ frac {1} {D (D- (2i-2)) + (1-2i)} x) [/ matemáticas]

Si factorizamos todo el denominador por los términos constantes, (es decir, [matemáticas] 1-2i [/ matemáticas])

[matemáticas] \ frac {1} {2} (e ^ {ix} \ frac {1} {\ frac {(1-2i) (D (D + (2i-2))} {1-2i} +1) } x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {2} (e ^ {- ix} \ frac {1} {(1-2i) (\ frac {(D (D- (2i-2))} {1-2i} +1)} x) [/ matemáticas]

Podemos escribir la fracción como una potencia para [matemáticas] -1, [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {2} (e ^ {ix} \ frac {1} {1-2i} ((\ frac {(D (D + (2i-2)))} {1-2i} +1 )) ^ {- 1} x) [/ math]

[matemáticas] \ frac {1} {2} (e ^ {- ix} \ frac {1} {1-2i} ((\ frac {(D (D- (2i-2)))} {1-2i} +1)) ^ {- 1} x) [/ math]

La serie Taylor de [matemáticas] (1 + u) ^ {- 1} = 1-u + u ^ 2-u ^ 3 + u ^ 4-u ^ 5… [/ matemáticas] o [matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (-u) ^ n [/ math]. Entonces, tomamos [math] \ frac {D (D + – (2i-2)} {1-2i} [/ math] como [math] u [/ math]. Sabemos que [math] D = \ frac { d} {dx} [/ math]. Luego multiplicamos todo por todo lo que no sea [math] e ^ {ix} [/ math], es decir, [math] x [/ math]. Obtenemos la serie como [math] x-ux + xu ^ 2-xu ^ 3 + xu ^ 4-xu ^ 5… [/ math]. Podemos simplemente tomar la serie hasta [math] -xu [/ math] ya que las derivadas pueden estar disminuyendo a [math ] 0 [/ matemática] cuando el orden aumenta (de [matemática] + xu ^ 2 [/ matemática]). [Matemática] \ frac {d ^ 2} {dx ^ 2} (x) = 0, \ frac {d } {dx} (x) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {e ^ {ix}} {2} (x- \ frac {\ frac {d ^ 2} {dx ^ 2} (x) + (2i-2) \ times \ frac {d} { dx} (x)} {1-2i}) [/ math]

[matemáticas] \ frac {e ^ {- ix}} {2} (x- \ frac {\ frac {d ^ 2} {dx ^ 2} (x) – (2i-2) \ times \ frac {d} {dx} (x)} {1-2i}) [/ math]

Simplificación,

[matemáticas] \ frac {e ^ {ix}} {2} (x- \ frac {2-2i} {1-2i}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {e ^ {- ix}} {2} (x- \ frac {2i-2} {1-2i}) [/ matemáticas]

Agregando esto, obtenemos nuestro PI [math] _2 [/ math].

[matemáticas] \ frac {e ^ {ix}} {2} (x- \ frac {2-2i} {1-2i}) + [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {e ^ {- ix}} { 2} (x- \ frac {2i-2} {1-2i}) [/ matemáticas]

Nuestro PI [math] _1 [/ math] es realmente simple porque, solo necesitamos tomar [math] e ^ {rx} [/ math] cuando [math] r = 1 [/ math], y surge un caso cuando [matemáticas] r = [/ matemáticas] una de las raíces de [matemáticas] m [/ matemáticas]. En este caso, no es así.

[matemáticas] e ^ x \ veces \ frac {1} {D ^ 2-2D + 2} [/ matemáticas]

Entonces, podemos descomponer la [matemática] \ phi (D) = D ^ 2-2D + 2 [/ matemática] en [matemática] (D- (1 + i)) (D- (1-i)) [ / math] y el complemento [math] D = r = 1 [/ math]. Obtenemos, [matemáticas] (- i) (i) = – i ^ 2 = – (- 1) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ x \ veces \ frac {1} {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ x [/ matemáticas]

Nuestro PI deseado es, cuando agregamos nuestros dos resultados (PI [matemática] _1 [/ matemática] y PI [matemática] _2 [/ matemática]) –

[matemáticas] \ frac {e ^ {ix}} {2} (x- \ frac {2-2i} {1-2i}) + [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {e ^ {- ix}} { 2} (x- \ frac {2i-2} {1-2i}) + e ^ x [/ math]

Nuestra solución deseada es cuando agregamos nuestro PI al CF,

Solución = [matemáticas] \ frac {e ^ {ix}} {2} (x- \ frac {2-2i} {1-2i}) + [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {e ^ {- ix} } {2} (x- \ frac {2i-2} {1-2i}) + e ^ x + [/ matemáticas] [matemáticas] e ^ x (Acos ​​(x) + Bsin (x)) [/ matemáticas]

Por favor, infórmeme dónde estoy equivocado

Gracias por el A2A

Answer 2

Intentaría resolver la ecuación homogénea:
[matemáticas] y ^ {”} – 2y ^ {‘} + 2y = 0 [/ matemáticas],
lo cual debería ser fácil de hacer. Escribe la ecuación bacteriana [matemática] r ^ 2-2r + 2 = 0 [/ matemática], resuelve las raíces [matemática] r_1 [/ matemática] y [matemática] r_2 [/ matemática] y luego obtienes la solución para La ecuación homogénea.

Después de eso, puede usar el método de variación de parámetros (puede buscarlo si no sabe cómo usarlo, hay muchos recursos en Internet sobre este método) para ajustar el término no homogéneo, y ¡Ahí tienes!

¡Buena suerte!

Answer 3

Hay varios métodos que puede usar para resolver esta ecuación diferencial que puede usar, por ejemplo, variación de parámetros, coeficientes indeterminados o la transformación de Laplace. Cubriré el método de coeficientes indeterminados buscando la solución complementaria y particular. Sustituyendo [math] y = e ^ {\ lambda x} [/ math] en

[matemáticas] y “-y ‘+ 2y = 0 [/ matemáticas]

Nos da

[matemáticas] (e ^ {\ lambda x}) “- 2 (e ^ {\ lambda x}) ‘+ 2e ^ {\ lambda x} [/ matemáticas]

Tomar derivados apropiados a través del cálculo elemental nos da

[matemáticas] \ lambda ^ 2 e ^ {\ lambda x} -2 \ lambda e ^ {\ lambda x} + 2e ^ {\ lambda x} = 0 [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow (\ lambda ^ 2-2 \ lambda +2) e ^ {\ lambda x} = 0. [/ math]

Como [math] e ^ {\ lambda x} \ neq 0 [/ math] para [math] \ lambda <\ infty [/ math], el polinomio debe ser igual a cero, es decir,

[matemáticas] \ lambda ^ 2-2 \ lambda + 2 = 0. [/ matemáticas]

Resolver para [math] \ lambda [/ math] da las soluciones [math] \ lambda = 1 + i [/ math] y [math] \ lambda = 1-i [/ math].

Las raíces dan la solución.

[matemáticas] y_1 (x) = C_1e ^ {(1 + i) x} [/ matemáticas]

y

[matemáticas] y_2 (x) = C_2e ^ {(1-i) x}. [/ matemáticas]

Por lo tanto, la solución general se da como

[matemáticas] y (x) = y_1 (x) + y_2 (x) = C_1e ^ {(1 + i) x} + C_2e ^ {(1-i) x}. [/ matemáticas]

Aplicar la identidad de Euler y reorganizar los términos da

[matemáticas] y (x) = (C_1 + C_2) e ^ x \ cos (x) + i (C_1-C_2) e ^ x \ sin (x). [/ matemáticas]

Las constantes son arbitrarias, así que cámbieles el nombre a [math] C_3 [/ math] y [math] C_4 [/ math] para obtener

[matemáticas] y (x) = C_3e ^ x \ cos (x) + C_4e ^ x \ sin (x). [/ matemáticas]

Las soluciones particulares serán de la forma

[matemáticas] y_ {p_1} (x) = a_1e ^ x [/ matemáticas]

y

[matemáticas] y_ {p_2} (x) a_2 \ cos (x) + a_3 x \ cos (x) + a_4 \ sin (x) + a_5 x \ sin (x). [/ matemáticas]

Agregar las dos soluciones juntas da la solución particular

[matemáticas] y (x) = y_ {p_1} (x) + y_ {p_2} (x) = a_1e ^ x + a_2 \ cos (x) + a_3x \ cos (x) + a_4 \ sin (x) + a_5x \ sin (x). [/ math]

Para determinar los valores de [matemática] a_1 [/ matemática] a [matemática] a_5 [/ matemática], tome la primera y segunda derivada de [matemática] y_p [/ matemática] y sustitúyalas en la ecuación diferencial. Igualar los coeficientes nos da los valores de estas constantes. Agregue la solución complementaria y particular para obtener la respuesta.

Answer 4

[matemáticas] (D ^ 2–2D + 2) y = e ^ x + x \ cos x [/ matemáticas]

CF

la ecuación auxiliar es [matemática] m ^ 2–2m + 2 = 0 [/ matemática] [matemática] m = \ frac {2 \ pm \ sqrt {4-4 * 2}} {2} = 1 \ pm i [/ matemáticas]

[matemáticas] y_c = e ^ x (C_1 \ cos x + C_2 \ sin x) [/ matemáticas]

Pi

[matemáticas] y_p = \ frac {1} {D ^ 2–2D + 2} (e ^ x + x \ cos x) [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ frac {1} {1 ^ 2–2 * 1 + 2} e ^ x + \ frac {1} {D ^ 2–2D + 2} (x \ cos x) [/ matemáticas]

= [matemáticas] e ^ x + \ frac {1} {D ^ 2–2D + 2} ([/ matemáticas] Parte real de [matemáticas] xe ^ {ix}) [/ matemáticas]

Deje que [matemática] D ^ 2–2D + 2 = (Da) (Db) [/ matemática] luego [matemática] a + b = 2 [/ matemática] y [matemática] ab = 2 [/ matemática]

también tenemos [matemáticas] f (D) xe ^ {ix} = e ^ {ix} f (D + i) x [/ matemáticas]

[matemáticas] y_p = e ^ x + [/ matemáticas] RP de [matemáticas] e ^ {ix} \ frac {1} {(D-a + i) (D-b + i)} x [/ matemáticas]

[matemáticas] = e ^ x + [/ matemáticas] RP de [matemáticas] e ^ {ix} \ frac {(1- \ frac {D} {ai}) ^ {- 1} (1- \ frac {D} {bi}) ^ {- 1}} {(- a + i) (- b + i)} x [/ math]

[matemáticas] = e ^ x + [/ matemáticas] RP de [matemáticas] e ^ {ix} \ frac {(1+ \ frac {D} {ai} +… +… +) (1+ \ frac {D} {bi} +…. + ..)} {(ab- (a + b) i + i ^ 2)} x [/ matemáticas]

[matemáticas] = e ^ x + [/ matemáticas] RP de [matemáticas] e ^ {ix} \ frac {(1+ \ frac {D} {ai} + \ frac {D} {bi} +…. +. .)} {(2-2i-1)} x [/ matemáticas]

[matemáticas] = e ^ x + [/ matemáticas] RP de [matemáticas] e ^ {ix} \ frac {(x + \ frac {1} {ai} + \ frac {1} {bi})} {(1- 2i)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = e ^ x + [/ matemáticas] RP de [matemáticas] e ^ {ix} \ frac {x + \ frac {a + b-2i} {(ai) (bi)}} {(1-2i) }[/matemáticas]

[matemáticas] = e ^ x + [/ matemáticas] RP de [matemáticas] e ^ {ix} \ frac {x + \ frac {2-2i} {(1-2i)}} {(1-2i)} Ahora \ frac {2-2i} {1-2i} = \ frac {6 + 2i} {5} [/ math]

[matemáticas] = e ^ x + [/ matemáticas] RP de [matemáticas] e ^ {ix} \ frac {x + \ frac {6 + 2i} {5}} {(1-2i)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = e ^ x + [/ matemáticas] RP de [matemáticas] e ^ {ix} (1 + 2i) \ frac {x + \ frac {6 + 2i} {5}} {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] = e ^ x + [/ matemáticas] RP de [matemáticas] (\ cos x + i \ sin x) [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {5x + 2 + i (10x + 14)} {25 }[/matemáticas]

[matemáticas] = e ^ x + [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {(5x + 2) \ cos x- (10x + 14) \ sin x} {25} + C [/ matemáticas]

[matemáticas] y = y_c + y_p [/ matemáticas]

[matemáticas] \ en caja {= e ^ x (C_1 \ cos x + C_2 \ sin x) + e ^ x + \ frac {(5x + 2) \ cos x- (10x + 14) \ sin x} {25} + C} [/ matemáticas]

Answer 5

El polinomio característico de la ecuación homogénea es:

[matemáticas] \ lambda ^ 2–2 \ lambda + 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lambda_ {1,2} = 1 \ pm i [/ matemáticas]

Entonces, la solución general del sistema homogéneo es [matemática] (C_1 \ cos (x) + C_2 \ sin (x)) e ^ x [/ matemática]

Ahora en cuanto a las soluciones particulares para el sistema.

[matemática] e ^ x [/ matemática] corresponde a [matemática] \ lambda = 1 [/ matemática] que no aparece en la solución homogénea por lo que no hay resonancia y podemos buscarla como [matemática] y_1 = De ^ x [/matemáticas]

Sustitúyalo por la ecuación y obtenga: [matemáticas] D_1 (1–2 + 2) e ^ x = e ^ x [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] D_1 = 1 \ Rightarrow y_1 = e ^ x [/ math]

En cuanto a [math] x \ cos {x} [/ math] corresponde a [math] \ lambda = \ pm i [/ math]. Por lo tanto, la resonancia no ocurre tan bien y necesita buscar la solución como [math] y_2 = (D_2 + D_3x) \ cos {x} + (D_4 + D_5x) \ sin {x} [/ math]

Sustitúyalo por la ecuación, obtenga un sistema de ecuaciones lineales. No me molestaré con la aritmética, probablemente puedas hacerlo tú mismo.

Finalmente [matemáticas] y = y_1 + y_2 + (C_1 \ cos (x) + C_2 \ sin (x)) e ^ x [/ matemáticas]