Cómo encontrar la solución general a la ecuación [matemáticas] (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) yy ^ {‘} + (x ^ 2 + y ^ 2-1) x = 0 [/ matemáticas]

Answer 1

Probar un método diferente a los ya proporcionados permite cambiar las variables.

[matemáticas] r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemáticas]

entonces tenemos

[matemática] \ izquierda (r ^ 2 + 1 \ derecha) \ izquierda (rr’-x \ derecha) + \ izquierda (r ^ 2-1 \ derecha) x = 0 [/ matemática]

Podemos reorganizar

[matemática] \ left (r ^ 2 + 1 \ right) rr ‘- \ left (r ^ 2 + 1 \ right) x + \ left (r ^ 2-1 \ right) x = 0 [/ math]

Esto es equivalente a

[matemática] \ izquierda (r ^ 2 + 1 \ derecha) rr’-2x = 0 [/ matemática]

deberías notar que tomar [matemáticas] r ^ 2 + 1 = v \ implica rr ‘= \ frac {1} {2} v’ [/ matemáticas] encontramos

[matemáticas] \ frac {1} {2} vv’-2x = \ frac {1} {4} \ frac {d} {dx} v ^ 2-2x = 0 [/ matemáticas]

Esto se resuelve fácilmente para producir

[matemática] v ^ 2-4x ^ 2 = C = \ izquierda (r ^ 2 + 1 \ derecha) ^ 2-4x ^ 2 [/ matemática]

Con una solución final siendo

[matemática] \ izquierda (x ^ 2 + y ^ 2 + 1 \ derecha) ^ 2-4x ^ 2 = C [/ matemática]

Answer 2

Reescribe [math] y ‘[/ math] como [math] \ dfrac {dy} {dx} [/ math] y multiplica por [math] dx [/ math] para llevar la ecuación a un formato de [math] M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 [/ matemática]

Esta ecuación es exacta ya que [math] \ dfrac {\ partial {M}} {\ partial {y}} = \ dfrac {\ partial {N}} {\ partial {x}} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle F (x, y) = \ int {M (x, y) dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int {x ^ 3 + xy ^ 2 + x} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {4} x ^ 4 + \ dfrac {1} {2} x ^ 2y ^ 2 + \ dfrac {1} {2} x ^ 2 + g (y) [/ matemáticas]

---

[matemática] N (x, y) = \ dfrac {\ partial {F}} {\ partial {y}} [/ matemática]

[matemáticas] \ implica x ^ 2y + y ^ 3 + y = x ^ 2y + g ‘(y) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica g ‘(y) = y ^ 3 + y [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica g (y) = \ dfrac {1} {4} y ^ 4 + \ dfrac {1} {2} y ^ 2 [/ matemáticas]

La solución viene dada por [math] F (x, y) = C [/ math], donde [math] C [/ math] es cualquier constante arbitraria

[matemáticas] \ implica \ dfrac {1} {4} x ^ 4 + \ dfrac {1} {2} x ^ 2y ^ 2- \ dfrac {1} {2} x ^ 2 + \ dfrac {1} {4 } y ^ 4 + \ dfrac {1} {2} y ^ 2 = C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 4 + 2x ^ 2y ^ 2–2x ^ 2 + y ^ 4 + 2y ^ 2 = K [/ matemáticas] [matemáticas] [K = 4C] [/ matemáticas]

Answer 3

Otra táctica … def u = x ^ 2, v = y ^ 2 ya que x e y solo aparecen en esos combos.

entonces, multiplique por dx para obtener

(u + v + 1) dv + (u + v-1) du = 0

o (u + v) d (u + v) + d (vu) = 0

que se integra de inmediato a

(u + v) ^ 2 + 2 (vu) = const

Esta es una ecuación cuadrática. Si quieres resolverlo por y, usa la fórmula cuadrática. O agregue 4u +1 a ambos lados para completar el cuadrado.

Sin embargo, esto parece un problema de libro de texto diseñado para hacerle probar la Exactitud, por lo que si eso es lo que sugiero, le sugiero que se adhiera al libro de texto. Estará en el examen.

Answer 4

Primero, tenga en cuenta que la ecuación puede reescribirse como [matemática] (x ^ 2 + y ^ 2-1) x × dx + (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) y × dy = 0 [/ matemática]. Ahora la ecuación puede ser probada para exactitud ya que tiene la forma [matemática] M dx + N dy = 0 [/ matemática]. Entonces, la solución se puede encontrar a partir del resultado de esa prueba.