¿Puede la aceleración de un resorte ser modelada por e ^ ix?

La solución a una ecuación diferencial que modela un problema en física no es solo una función que satisface la ecuación, es una función que también satisface las condiciones iniciales del problema. Después de modelar el problema, el resto de la física radica en la correcta especificación y aplicación de estas condiciones. Para su ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, generalmente hay dos condiciones iniciales especificadas, una en la función misma y otra en su primera derivada. Entonces, por ejemplo, su sugerencia de que [math] x (t) = e ^ {it} [/ math] es una solución es, desde el principio, la solución a un problema con condiciones iniciales muy restringidas, es decir, una posición inicial de [matemática] x_0 = x (0) = 1 [/ matemática] y, dado que [matemática] x ‘(t) = ie ^ {it} [/ matemática], una velocidad inicial de [matemática] v_0 = x’ ( 0) = i [/ math], lo cual es bastante desconcertante. Es casi tan malo decir que [math] x (t) = \ cos {t} [/ math] es una solución, ya que eso restringe sus posibles condiciones iniciales a [math] x_0 = 1 [/ math], y [ matemáticas] v_0 = -1 [/ matemáticas]. Ciertamente, puedes imaginar muchas más posibilidades que esto ocurriendo.

Entonces, lo que uno hace para permitir estas posibilidades, es decir, para condiciones iniciales más generales, es tomar combinaciones lineales de tantas funciones linealmente independientes que pueda encontrar que satisfacen la ecuación. Las palabras clave aquí son linealmente independientes . Estas son ideas que aprende en un primer curso de ecuaciones diferenciales, con las que quizás no esté familiarizado. Supongo que este problema proviene de un primer curso de física, y simplemente se le ha presentado la solución al problema de resorte / masa en la forma [matemáticas] x (t) = A \ cos {(\ omega t + \ phi)} [/ math] como un ejemplo de movimiento armónico simple. Usted ve que esta solución no es simplemente [matemáticas] \ cos {\ omega t} [/ matemáticas], o con su elección de [matemáticas] k = m = 1 [/ matemáticas], haciendo [matemáticas] \ omega = 1 [ / math], no es solo [math] \ cos {t} [/ math]. Es una función coseno que involucra dos constantes arbitrarias , una amplitud [matemática] A [/ matemática] y un ángulo de fase [matemática] \ phi [/ matemática], que son justo lo que se necesita para permitir la satisfacción de las dos condiciones iniciales.

Ahora, perdone la frase infame, pero … “se puede demostrar que” hay al menos dos conjuntos linealmente independientes de dos funciones que satisfacen su ecuación diferencial: [matemáticas] \ {\ cos {t}, \ sin {t} \} [/ math] y [math] \ {e ^ {it}, e ^ {- it} \} [/ math]. Richard Hayson presenta muy bien las soluciones generales (y equivalentes) obtenidas como combinaciones lineales de estas funciones en su respuesta. ¡Esas constantes arbitrarias son cruciales para la solución del problema! Pero, ¿cómo se reducen sus soluciones a lo que supongo que es su solución de libro de texto? Bueno, para traer, por ejemplo, su solución que involucra las funciones trigonométricas a esa forma, construya un triángulo rectángulo con lados [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas], e hipotenusa [matemáticas] C [/ matemáticas]. Deje que [math] \ theta [/ math] sea el ángulo adyacente al lado [math] A [/ math]. Entonces [matemáticas] A = C \ cos {\ theta} [/ matemáticas], y [matemáticas] B = C \ sen {\ theta} [/ matemáticas]. Sustituyendo las constantes en su solución de función trigonométrica se obtiene

[matemáticas] \ begin {align} x (t) & = C \ cos {\ theta} \ cos {t} + C \ sin {\ theta} \ sin {t} \\ & = C \ left (\ cos { \ theta} \ cos {t} + \ sin {\ theta} \ sin {t} \ right) \\ & = C \ cos {(t – \ theta)}, \ end {align} [/ math]

donde se utilizó la identidad trigonométrica para el coseno de una suma de ángulos para obtener la última igualdad. Como [math] \ theta [/ math] es un ángulo de fase constante arbitrario, también podría ser reemplazado por alguna otra constante, por ejemplo, [math] – \ phi [/ math], para que la solución se parezca más a su libro de texto solución (y, por supuesto, [matemática] C [/ matemática] puede cambiarse de nombre a [matemática] A [/ matemática]). Nuevamente, las constantes son cruciales para permitirle satisfacer las condiciones iniciales.

Son lo mismo (más o menos, pero lo explicaré más adelante). Por lo general, la identidad de Euler se introduce durante el Cálculo 1, por lo que es más fácil introducir el concepto de movimiento armónico con senos y cosenos porque la trigonometría se enseñó durante el Precálculo y, por lo tanto, los estudiantes estarían mucho más familiarizados y cómodos con esos conceptos.

Sobre el tipo de cosas entre paréntesis anteriores: las dos soluciones equivalentes a la ecuación se pueden escribir como:

[matemáticas] x (t) = A \ cos (t) + B \ sin (t) [/ matemáticas]

[matemáticas] x (t) = Ce ^ {it} + De ^ {- it} [/ matemáticas]

Aquí, los coeficientes [matemática] A [/ matemática], [matemática] B [/ matemática], [matemática] C [/ matemática] y [matemática] D [/ matemática] están determinados por las condiciones iniciales de su sistema. Tenga en cuenta que si bien [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] deben ser reales, [matemática] C [/ matemática] y [matemática] D [/ matemática] no tienen que serlo. Es muy fácil encontrar una relación entre [matemática] A [/ matemática], [matemática] B [/ matemática], [matemática] C [/ matemática] y [matemática] D [/ matemática] a partir de las ecuaciones anteriores.

Sí, e ^ ix puede usarse como una solución, pero terminas con una misma solución. También incluye la fase en el mismo. Cuando usa e ^ ix, termina con dos raíces para sus ecuaciones características, en este caso +/- 1. Entonces, su solución general será de la forma Ae ^ (ix) + Be ^ (- ix). Usando eulers y reorganizando términos obtenemos Csin (x) + Dcos (x).