¿Qué significa “[math] \ dot {x} = f (x), x (0) = 0, x \ in \ mathbb {R} ^ {n} [/ math]”?

Answer 1

(Veo que en el tiempo que me llevó escribir esto, usted corrigió lo que escribió originalmente, pero de todos modos voy a dejar lo que escribí originalmente sobre el error tipográfico).

Si realmente lee [math] x = \ mathbb {R} ^ n [/ math], es un error tipográfico, debería leer [math] x \ in \ mathbb {R} ^ n [/ math], es decir, [math ] x [/ math] es un elemento del conjunto [math] \ mathbb {R} [/ math] [math] ^ n [/ math], es decir, [math] x [/ math] es un [math] n [/ math] -dimensional vector con componentes de valor real. Las otras dos “piezas del rompecabezas” significan, respectivamente: la primera derivada de la función de valor vectorial [math] n [/ math] -D, [math] \ dot {x} [/ math], es igual a una función de el valor de la función (tal como [matemática] dy / dx [/ matemática] puede ser igual a [matemática] y [/ matemática], [matemática] 2y [/ matemática], [matemática] y ^ 2 [/ matemática], o cualquier otra función de [math] y [/ math], de la cual la ecuación 1-D simple de su ejemplo es una generalización); y el valor inicial de la solución es el vector cero (que siempre se puede lograr mediante un cambio de variable, es decir, este es un IC estándar que se puede asumir sin pérdida de generalidad).

Déjame adivinar: estás leyendo sobre sistemas autónomos de primer orden de EDO (que es para lo que tu declaración es una expresión general). Parece que puede estar leyendo un poco más allá de su zona de confort, lo cual está bien, no aprendemos en nuestra zona de confort, aunque sí tenemos facilidades allí, así que permítame proporcionarle algunos ejemplos (aunque si Si re lees no lo hace, te aconsejaría que encuentres otra fuente para este material que sí lo haga: si presenta esa declaración y luego no proporciona ningún ejemplo, comienza en ese punto y, por lo tanto, está escrita para alguien para quien esa afirmación es elemental, no desconocida). Ya lo hice para [math] n = 1 [/ math]; así que aquí hay un ejemplo para [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas]: [matemáticas] (\ dot {x}, \ dot {y}) = (x ^ 2-y ^ 2, 2xy), x (0) = y (0) = 0, x, y \ in \ mathbb {R} [/ math], y aquí hay uno para n = 3: [math] (\ dot {x}, \ dot {y}, \ dot {z }) = (yz, zx, xy), x (0) = y (0) = z (0) = 0, x, y, z \ in \ mathbb {R}. [/ math] Puedes ver, I Confianza, por qué, cuando queremos hablar sobre el caso general (dimensiones finitas), dejamos de asignar nuevas letras para cada componente y, de hecho, aprendemos todo lo que podemos, lo cual es bastante, sin ningún atractivo explícito para componentes en absoluto! Esa es su declaración: es la generalización concisa de los ejemplos presentados anteriormente.

Answer 2

En la vieja y molesta tradición de los textos de física (y algunas matemáticas), el autor decidió no especificar explícitamente que x es una función de t. Sin embargo, la presencia de un punto por encima de x lo indica implícitamente. Como explicó Stev Iones, lo que obtuvo aquí es una ecuación diferencial ordinaria (o si prefiere un sistema de EDO) en la función x: R -> R ^ n que envía t a x (t). Se le da el valor inicial para ser

x (0) = (0,…, 0)

y la derivada en cualquier momento es f (x (t)). Lo que es ligeramente especial sobre esta situación es que la derivada no depende del tiempo t, sino más bien de x (t) solamente. La función f: R ^ n -> R ^ n es realmente una colección de n funciones de n variables. Es conveniente pensarlo como un campo vectorial en R ^ n.

Answer 3

La “x” con el punto encima significa dx / dt (la derivada del tiempo de x).

f (x) es una función de x.

Entonces, es una ecuación diferencial de un sistema cuya velocidad (dx / dt) es una función de x.

x (0) = 0 significa x = 0 cuando t = 0 (se denominan “condiciones iniciales”).

Answer 4

Sugeriría que el lado derecho de la ecuación debería ser f (t).

Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden con una función forzada f (t) y condición inicial x = 0 cuando t = 0.

la variable independiente es t; la variable dependiente es x.