[matemáticas] y “-8y ‘+ 17y = e ^ {4x} x ^ 2-3x \ sin (x) e ^ {4x} [/ matemáticas]
[matemáticas] y “-8y ‘+ 17y = e ^ {4x} x ^ 2-3x \ frac {e ^ {2ix + 4x} -e ^ {4x-2ix}} {2i} [/ matemáticas]
Encontrar las soluciones a la ecuación auxiliar,
[matemáticas] a = \ frac {8+ \ sqrt {64-68}} {2} = \ frac {8 + 2i} {2} = 4 + i [/ matemáticas]
[matemáticas] b = 4-i [/ matemáticas]
Ahora, las soluciones de la ecuación son imaginarias, por lo que nuestro CF es (generalmente),
[matemáticas] Ae ^ a + Be ^ b [/ matemáticas]
Pero, cuando las soluciones son imaginarias de la forma, [math] \ alpha + i \ beta [/ math], [math] \ alpha-i \ beta [/ math]
[matemáticas] Ae ^ {\ alpha + i \ beta} + Be ^ {\ alpha-i \ beta} [/ math]
Ahora factorizamos por [math] e ^ {\ alpha} [/ math] y obtenemos,
[matemáticas] e ^ {\ alpha} (Ae ^ {i \ beta} + Be ^ {- i \ beta}) [/ matemáticas]
Recordamos,
[matemáticas] e ^ {nix} = \ cos (nx) + i \ sin (nx) [/ matemáticas] y
[matemáticas] e ^ {- nix} = \ cos (nx) -i \ sin (nx) [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ {\ alpha} (A \ cos (\ beta x) + B \ cos (\ beta x) + Ai \ sin (\ beta x) -Bi \ sin (\ beta x)) [/ math]
[matemáticas] e ^ {\ alpha} ((A + B) \ cos (\ beta x) + (AB) i \ sin (\ beta x)) [/ matemáticas]
Pero, se convierte, de alguna manera,
[matemáticas] e ^ {\ alpha} (A \ cos (\ beta x) -B \ sin (\ beta x)) [/ matemáticas]
Cuando [matemáticas] \ alpha = 4, \ beta = 1, [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ 4 (A \ cos (x) + B \ sin (x)) [/ matemáticas]
Nuestro IP es una combinación de tres cosas, pero necesita saber una sola cosa,
[matemáticas] \ int \ frac {f (x)} {\ phi (D)} (e ^ {rx} x ^ n) [/ matemáticas]
, donde [matemática] D [/ matemática] es el operador diferencial [matemática] \ frac {d} {dx} [/ matemática] y [matemática] \ phi (D) = D ^ 2-17D + 8 [/ matemática]
[matemática] f (x) [/ matemática] es la función en el RHS ([matemática] e ^ 4 x ^ 2 – (\ frac {3xe ^ {x (4 + i)} – 3xe ^ {x (4- i)}} {2i}) [/ matemáticas])
Como nuestro PI es una suma de algunas funciones, podemos tomar cada función y encontrar el PI
En primer lugar, tomamos [matemáticas] e ^ {4x} x ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {1} {(D ^ 2-8D + 17} \ veces e ^ {4x} x ^ 2 [/ matemáticas]
Como tenemos [matemáticas] e ^ {rx} x ^ n [/ matemáticas], tomamos [matemáticas] D = D + r = D + 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {1} {(D + 4) ^ 2-8 (D + 4) +17} \ veces e ^ {4x} x ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {1} {D ^ 2 + 1} \ veces e ^ {4x} x ^ 2 [/ matemáticas]
No hay mucho que calcular. Tome [math] 1 [/ math], que es el último término y factoréelo en el denominador, sin obtener nada. Ahora, recordamos la fórmula para [matemáticas] (1 + x) ^ {- 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] 1-x + x ^ 2-x ^ 3 + x ^ 4-x ^ 5 + x ^ 6 …… [/ matemáticas]
Entonces, [matemáticas] (1 + D ^ 2) [/ matemáticas]
[matemáticas] 1-D ^ 2 + D ^ 4-D ^ 6 …… [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ {4x} (1-D ^ 2 + D ^ 4-D ^ 6) x ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ {4x} (x ^ 2-D ^ 2 (x ^ 2) + D ^ 4 (x ^ 2) -D ^ 6 (x ^ 2)) [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ {4x} (x ^ 2-2) [/ matemáticas]
En segundo lugar, tomamos [math] \ frac {3} {2i} xe ^ {(4 + i) x} [/ math] y hacemos los mismos pasos,
[matemáticas] \ frac {3} {2i} (\ frac {1} {D ^ 2-17D + 8} \ times xe ^ {(4 + i) x}) [/ matemáticas]
Poner, [matemáticas] D = D + r = D + (4 + i) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {3} {2i} (\ frac {1} {D ^ 2 + (2i-9) D- (35 + 9i)} \ veces e ^ {(4 + i) x} x [/ matemáticas]
Factoring por [matemáticas] – [/ matemáticas] [matemáticas] (35 + 9i), [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {3} {2i} (\ frac {1} {1 + (- \ frac {D ^ 2} {35 + 9i} + \ frac {9-2i} {35 + 9i} D)} ) ^ {- 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {3} {- 2i (35 + 9i)} (1 + (- \ frac {D ^ 2} {35 + 9i} + \ frac {9-2i} {35 + 9i} D)} ) ^ {- 1}) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {3} {- 2i (35 + 9i)} (1 + (\ frac {9-2i} {35 + 9i} D- \ frac {D ^ 2} {35 + 9i})) ^ {-1} [/ matemáticas]
Recordando que, [matemáticas] (1 + x) ^ {- 1} = 1-x + x ^ 2-x ^ 3 + x ^ 4 … [/ matemáticas], trabajamos en los paréntesis, recordando que, [ matemáticas] D (x) = 1, D ^ 2 (x) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] (1 + [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {9-2i} {35 + 9i} D) [/ matemáticas]
Multiplicar por [matemáticas] x ^ n = x [/ matemáticas]
Recordando eso, [matemática] D (x) = 1, D ^ 2 (x) = 0 [/ matemática], y a poderes superiores
[matemáticas] x + \ frac {9-2i} {35 + 9i} (1) [/ matemáticas]
[matemáticas] x + \ frac {9-2i} {35 + 9i} [/ matemáticas]
Multiplicando esto por el resto, es decir, [matemáticas] e ^ {(4 + i) x} \ frac {3} {- 2i (35 + 9i)} [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ {(4 + i) x} \ frac {-3} {35 + 9i} \ times \ frac {9-2i} {35 + 9i} [/ matemáticas]
El siguiente. [matemáticas] \ frac {3e ^ {(4-i)}} {2i} x [/ matemáticas]
Ahora, reemplazamos [matemáticas] D = D + (4-i) [/ matemáticas], después de hacer los mismos pasos (con ligeras variaciones), obtenemos,
[matemáticas] e ^ {(4-i) x} \ frac {3} {2i} (\ frac {1} {D ^ 2 + (8-2i) D + 71-25i} x) [/ matemáticas]
Factorizar por [matemáticas] 71-25i, [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ {(4-i) x} \ frac {3} {2i} (\ frac {1} {(71-25i) (1 + (\ frac {D ^ 2} {71-25i} + \ frac {8-2i} {71-25i} D))} (x) [/ math]
[matemáticas] e ^ {(4-i) x} \ frac {3} {2i (71-25i)} (1+ \ frac {D ^ 2} {71-25i} + \ frac {8-2i} { 71-25i} D) ^ {- 1} x [/ matemáticas]
Recordando [math] (1 + x) ^ {- 1} = 1-x + x ^ 2-x ^ 3 + x ^ 4-x ^ 5 .. [/ math], solo nos enfocamos en los corchetes, dejando de lado [matemáticas] e ^ {(4-i) x} \ frac {3} {2i (71-25i)} [/ matemáticas]. Además, como, [matemáticas] D (x) = 1, D ^ 2 (x) = 0, [/ matemáticas] nuestra ecuación se simplifica a,
[matemáticas] (x + \ frac {8-2i} {71-25i}) [/ matemáticas]
Ahora, si multiplicamos esto por nuestros coeficientes, obtenemos
[matemáticas] e ^ {(4 + i) x} \ frac {3} {2i (71-25i)} (x + \ frac {8-2i} {71-25i}) [/ matemáticas]
Este es el final de nuestra enorme parte de IP. Intente agregar los CF y PI y ahí está la solución a su ecuación diferencial.
