Cómo resolver [matemáticas] (x + y + 1) dy / dx = 1 [/ matemáticas]

Answer 1

-A2A-

Deje x + y = v

[matemática] \ Rightarrow \ 1 + \ frac {dy} {dx} = \ frac {dv} {dx} [/ math]

o [matemáticas] \ frac {dy} {dx} \ = \ frac {dv} {dx} – 1 [/ matemáticas]

Entonces, [math] (x + y + 1) \ frac {dy} {dx} = 1 [/ math] puede reescribirse como:

[matemáticas] (v + 1) (\ frac {dv} {dx} -1) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] (v + 1) \ frac {dv} {dx} – v – 1 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dv} {dx} \ = \ frac {v + 2} {v + 1} [/ matemáticas]; que es una forma separable variable

[matemáticas] dx \ = \ frac {v + 1} {v + 2} dv [/ matemáticas]

[matemáticas] dx \ = (1 – \ frac1 {v + 2}) dv [/ matemáticas]

Integrando ambos lados:

[matemáticas] x \ = v – ln (v + 2) + lnC [/ matemáticas]

[matemáticas] v -x = ln (v + 2) – lnC [/ matemáticas]

[matemáticas] vx \ = ln (\ frac {v + 2} {C}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {v + 2} {C} \ = e ^ {vx} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ en caja {v + 2 = Ce ^ {vx}} [/ matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] \ begin {align *}
\ left (x + y + 1 \ right) \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} & = 1 \\
\ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} & = \ dfrac {1} {x + y + 1}
\ end {align *} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align *}
u & = x + y \\\\
\ dfrac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x} & = 1 + \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} \\
& = 1 + \ dfrac {1} {u + 1} \\
& = \ dfrac {u + 2} {u + 1}
\ end {align *} [/ math]

[matemática] \ left (\ dfrac {u + 1} {u + 2} \ right) \ mathrm {d} u = \ mathrm {d} x [/ math]

[matemática] \ left (1- \ dfrac {1} {u + 2} \ right) \ mathrm {d} u = \ mathrm {d} x [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ left (1- \ dfrac {1} {u + 2} \ right) \ mathrm {d} u = \ int \ mathrm {d} x [/ math]

[matemáticas] u – \ ln | u + 2 | + ln | C | = x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln \ left | \ dfrac {C} {u + 2} \ right | = x – u [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {C} {u + 2} = e ^ {xu} [/ matemáticas]

[matemáticas] u + 2 = Ce ^ {ux} [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + y) + 2 = Ce ^ {(x + y) -x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ boxed {\ boldsymbol {{\ color {Red} x = Ce ^ y – y – 2}}} [/ math]

Answer 3

Cuando veo este problema, lo primero que me viene a la mente es que si consideramos [matemáticas] x [/ matemáticas] en función de [matemáticas] y [/ matemáticas] en lugar de viceversa, la ecuación se convierte en:

[matemáticas] \ frac {dx} {dy} = x + y + 1 [/ matemáticas]

Esa es una ecuación bastante fácil de resolver, ya que es lineal y tiene un coeficiente constante. Un enfoque es combinar la solución al problema homogéneo asociado (que se da inmediatamente por [matemáticas] x_h (y) = ke ^ {y} [/ matemáticas]) con una solución particular. La solución particular debe ser un polinomio lineal ya que la función de forzamiento (es decir, [math] y + 1 [/ math] es un polinomio lineal).

Suponemos una solución de la forma

[matemáticas] x_p (y) = \ alpha y + \ beta [/ matemáticas]

Conectar esto a la ecuación diferencial implica que

[matemáticas] \ alpha = \ alpha y + \ beta + y + 1 [/ matemáticas]

Vemos que esta ecuación se cumple para todas [matemáticas] y [/ matemáticas] si y solo si [matemáticas] \ alpha = -1 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ beta = -2 [/ matemáticas].

Entonces la solución general viene dada por

[matemáticas] x (y) = ke ^ {y} -y-2 [/ matemáticas]

Esta es una solución implícitamente definida para [math] y (x) [/ math]. Para hacerlo explícito, debemos resolver [math] y [/ math]. Este paso no es simple y requiere el uso de la función Lambert W.

Te lo demostraré.

Comenzamos con:

[matemáticas] x = ke ^ {y} -y-2 [/ matemáticas]

[matemáticas] y + x + 2 = ke ^ {y} [/ matemáticas]

[matemáticas] y + x + 2 = ke ^ {- x-2} e ^ {y + x + 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] (y + x + 2) e ^ {- (y + x + 2)} = ke ^ {- x-2} [/ matemáticas]

[matemáticas] – (y + x + 2) e ^ {- (y + x + 2)} = -ke ^ {- x-2} [/ matemáticas]

Todo ese álgebra se hizo para hacer que el lado izquierdo de la ecuación de la forma [math] ue ^ u [/ math] porque cuando está en la forma, podemos aplicar el inverso de [math] ue ^ u [/ math ], que es la función Lambert W (denotada [math] W (u) [/ math]). La aplicación de esta función a ambos lados de la ecuación da:

[matemáticas] – (y + x + 2) = W \ left (-ke ^ {- x-2} \ right) [/ math]

Y finalmente:

[matemática] y = -W \ left (-ke ^ {- x-2} \ right) -x-2 [/ math]

Tenga en cuenta que el Lambert W no está definido para todos los argumentos y tiene varios valores para otros argumentos, lo que indica que la solución para algunas condiciones iniciales puede no existir y ser única para todos [math] x [/ math], pero eso difícilmente debería venir como un shock ya que la ecuación diferencial original tiene un campo de pendiente discontinuo cuando [math] y = -x-1 [/ math].

(* Nota: no verifiqué esto cuidadosamente, así que hágalo antes de decidir creerlo. El enfoque es correcto, pero hay muchos lugares para cometer un pequeño error de cálculo. Espero que si hay un error, alguien lo hará sugiera una edición o dígame en un comentario.)

Answer 4

Use la sustitución (x + y + 1) = v

Answer 5

.

“¿Cómo resuelvo (x + y + 1) dy / dx = 1?”

Lo siento, no sé cómo lo resuelves.

Pero así es como lo resuelvo. Yo uso maxima :

Answer 6

Representa una función P (x, y) = x + y + 1

Entonces dy / dx = (dp / dx) -1

Ahora la ecuación se convierte en P (dp / dx-1) = 1

Entonces PdP / dx = P + 1

PdP / (P + 1) = dx

Luego, después de integrarlo

P-ln (P + 1) = X

P + 1 = e ^ (PX)

Answer 7

Answer 8

Ahora esa es una buena pregunta. Primero dy / dx = 1 / x + y + 1. Luego deje que x + y + 1 = t así que 1 + dy / dx = dt / dx, entonces obtendrá dt / dx -1 = 1 / t. Ahora resuelva el resto

Answer 9

Así que aquí está su solución para la ecuación diferencial anterior.

Espero haberte ayudado.

Answer 10

Encuentra dx / dy

Obtener expresión lineal en forma de

dx / dy + Px = Q

donde P y Q son constantes O funciones de y solo.

Y aquí, la solución general si

x (IF) = integral (Q (IF) dy) + C

donde IF es el factor integrador y es igual a

e ^ (integral (Pdy))

Answer 11

[matemáticas] (x + y + 1) \ dfrac {dy} {dx} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {1} {(x + y + 1)} [/ matemáticas]

Deje [matemáticas] x + y + 1 = t [/ matemáticas]

Tomando derivada de ambos lados …

[matemáticas] 1 + \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {dt} {dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {dt} {dx} – 1 [/ matemáticas]

Entonces tenemos…

[matemáticas] \ dfrac {dt} {dx} – 1 = \ dfrac {1} {t} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dt} {dx} = \ dfrac {1} {t} + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dt} {dx} = \ dfrac {1 + t} {t} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {t dt} {1 + t} = dx [/ matemáticas]

Integremos ambos lados …

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {t} {t + 1} \, dt = \ displaystyle \ int 1 \, dx [/ math]

Tiempo para una pequeña travesura 😛

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {t + 1-1} {t + 1} \, dt = \ displaystyle \ int 1 \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int 1 \, dt – \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {t + 1} \, dt = \ displaystyle \ int 1 \, dx [/ math]

[matemáticas] t – \ log | 1 + t | = x + C [/ matemáticas]

Volver a poner [matemáticas] t = x + y + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x + y + 1 – \ log | 1 + x + y + 1 | = x + C [/ matemáticas]

[matemáticas] y + 1 – \ log | x + y + 2 | = C [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ log | x + y + 2 | + K [/ matemáticas]

(Donde [matemáticas] K = C-1 [/ matemáticas])

Resuelto 😀