En términos simples, ¿qué son las formas diferenciales?

Tu profesor tiene razón, no puedes entender las formas diferenciales antes de aprender la geometría diferencial.

Por otro lado, las ecuaciones diferenciales ordinarias solo tratan con tipos muy especiales de formas diferenciales llamadas formas únicas (o formas 1), y es más factible controlarlas. Una forma de entenderlos es a través de los campos de Pendiente en ODE.

¿Qué es una EDO? “Encuentre una función y (x) cuyas pendientes y ‘(x) satisfagan una ecuación dada”.

Tome esta ODE por ejemplo: [math] y ‘= x + y [/ math].

Podrías resolverlo algebraicamente si quisieras y obtener algo como [matemáticas] y (x) = ce ^ x – x – 1 [/ matemáticas], pero eso es muy peatonal y aburrido. Dibujemos.

Elija un punto [matemática] (x_0, y_0) [/ matemática] y resuelva [matemática] y ‘= x + y [/ matemática] con la condición inicial [matemática] y (x_0) = y_0 [/ matemática]. Esto le dará una función y (x). Grafica esa función y obtendrás una de las curvas de colores a continuación:


Cada ODE tiene una imagen asociada que consiste en infinitas curvas y resolver la ODE corresponde a elegir la curva que coincida con sus condiciones iniciales / límite.

Una vez que tenga todas las curvas, puede calcular los vectores tangentes [math] \ vec {u} [/ math] en cada punto de cada curva y luego dibujarlos. Estas imágenes se llaman campos de pendiente. Esos son los vectores que ves arriba (excepto que fueron redimensionados para tener una longitud 1 en la imagen).

Recuerde del cálculo y la definición de derivadas que un vector tangente al punto [matemáticas] (x_0, y_0) [/ matemáticas] es [matemáticas] (1, y ‘(x_0)) [/ matemáticas]. En este caso [math] y ‘= x + y [/ math], y por lo tanto [math] \ vec {u} _ {(x_0, y_0)} \ propto (1, x_0 + y_0) [/ math].

Si escribimos [math] u ^ x _ {(x_0, y_0)} [/ math] para la coordenada x y [math] u ^ y _ {(x_0, y_0)} [/ math] para la coordenada y (* *) del vector [math] \ vec {u} _ {(x_0, y_0)} [/ math] entonces la ecuación de proporcionalidad anterior es equivalente a:

[matemática] u ^ y _ {(x_0, y_0)} = (x_0 + y_0) \ cdot u ^ x _ {(x_0, y_0)} [/ matemática].

Recapitulando, la ODE [math] y ‘= x + y [/ math] dio lugar a una ecuación de campo vectorial, la de la línea de arriba.

También puedes ir en sentido contrario. Puede comenzar con la ecuación del campo vectorial y encontrar una función cuyo campo de pendiente lo satisfaga.

Por lo tanto, una forma equivalente de pensar en las EDO es: “Encuentre una función y (x) cuyo campo de pendiente (1, y ‘(x)) sea proporcional a un campo de pendiente dado”.

Entonces hay una dualidad entre:

  1. Ecuaciones diferenciales, y
  2. Ecuaciones de campo vectoriales.

Los derivados ayudan a establecer problemas de EDO en el formato anterior, los formularios diferenciales ayudan a establecerlos en el último formato.

Ahora hagamos todo más confuso y cambiemos la notación.

Escribiré [math] \ frac {dy} {dx} [/ math] en lugar de [math] y ‘(x) [/ math].

Escribiré [math] dx [/ math] en lugar de [math] u ^ x _ {(x, y)} [/ math] y [math] dy [/ math] en lugar de [math] u ^ y _ {(x , y)} [/ math]. Es decir, dx y dy son los componentes x e y del vector de pendiente [math] \ vec {u} _ {(x, y)} [/ math].

En esta nueva notación, la dualidad que he descrito dice que:

  • Encontrar y (x) de modo que [matemáticas] \ frac {dy} {dx} (x) = x + y (x) [/ matemáticas] para todas las x.

es lo mismo que

  • Encontrar y (x) cuyos vectores tangentes [matemática] \ vec {u} _ {(x, y (x))} [/ matemática] satisfacen [matemática] dy (\ vec {u} _ {(x, y ( x))}) = (x + y (x)) \, dx (\ vec {u} _ {(x, y (x))}) [/ math] para todas las x.

(Si se divide formalmente entre dx, ¡observe que la segunda ecuación coincide con la primera!)

Entonces, ¿qué son las formas únicas? Las formas únicas son funciones que toman vectores como entrada y escupen escalares como salida.

El dx de una forma toma un vector [math] \ vec {u} [/ math] y escupe su coordenada x, mientras que dy escupe su coordenada y:

  • [matemáticas] dx (\ vec {u} _ {(x, y)}) = u ^ x _ {(x, y)} [/ matemáticas], y
  • [matemática] dy (\ vec {u} _ {(x, y)}) = u ^ y _ {(x, y)} [/ matemática].

En el diagrama de arriba,


en el punto [matemáticas] (x, y) = (2,3) [/ matemáticas] un vector de pendiente es

  • [matemáticas] \ vec {u} _ {(x, y)} = \ vec {u} _ {(2,3)} = (1, 2 + 3) = (1, 5) [/ matemáticas].

En ese mismo punto:

  • [matemáticas] dx (\ vec {u} _ {(x, y)}) = 1 [/ matemáticas],
  • [matemática] dy (\ vec {u} _ {(x, y)}) = 5 [/ matemática], y
  • [matemáticas] (x + y) \, dx (\ vec {u} _ {(x, y)}) = (2 + 3) \ cdot 1 = 5 [/ matemáticas].

No es sorprendente: [math] dy (\ vec {u} _ {(x, y)}) = (x + y) \, dx (\ vec {u} _ {(x, y)}) [/ math] se mantiene cierto.

En general, las formas unitarias son funciones arbitrarias que toman vectores y escupen números, y que son transformaciones lineales de ese vector.

Tenga cuidado de no confundir el punto (x, y) en el que se evalúa el formulario con el vector [math] \ vec {u} [/ math] que conectamos al formulario. Aquí hay otro ejemplo.

1. Una forma más complicada es [math] \ omega _ {(x, y)} = x ^ 2 \, dx + y ^ 3 \, dy [/ math].

Las x e “desnudas” que ves en la fórmula provienen del punto (x, y) en el que vamos a evaluar. El dx y dy son los que se preocupan por el vector [math] \ vec {u} [/ math] que conectamos.

Suponga que evalúa [math] \ omega _ {(x, y)} [/ math] en el punto (x, y) = (1, 2) conectando el vector [math] \ vec {u} = (4, 0) [/ matemáticas]. Entonces [math] \ omega _ {(1,2)} (\ vec {u}) = 1 ^ 2 \ cdot 4 + 2 ^ 3 \ cdot 0 = 4 [/ math]. Si duplica el vector, entonces [math] \ omega _ {(1,2)} (2 \ vec {u}) = 1 ^ 2 \ cdot 8 + 2 ^ 3 \ cdot 0 = 8 [/ math].

2. Otra forma interesante es

[matemáticas] \ eta _ {(x, y)} = \ frac {x \, dy – y \, dx} {x ^ 2 + y ^ 2} [/ matemáticas],

y aparece a menudo en topología diferencial, en integración de calc multivariable y en análisis complejo. De alguna manera, realiza un seguimiento del ángulo que está haciendo su curva con respecto al origen, pero he ido demasiado lejos.

Todo esto solo pertenece a las formas diferenciales de una. Hay tipos más generales de formas diferenciales (formas k), pero entenderlas sin conocer ninguna geometría diferencial es complicado.

Espero que esto ayude.

(**) Las x e y aquí no son exponentes, son superíndices. Esos son similares a los subíndices, excepto que ya hay demasiados subíndices.

Nota: la notación de geometría diferencial es intimidante. Hay una cantidad ridícula de subíndices y superíndices en todas partes, y nos ocupamos de las funciones de los vectores cuyo comportamiento cambia de un punto a otro. Lleva bastante tiempo acostumbrarse a todo esto. No te rindas, una vez que hayas superado ese obstáculo, verás que todo está muy bien construido.

Matemáticamente, debería ser fácil de explicar siempre que alguien haya tomado un curso de cálculo. Las integrales apuntan a calcular el área debajo de una curva o superficie. Encontrar los límites de áreas y volúmenes nos devuelve estas curvas o superficies. Las formas diferenciales y los operadores de límites tienen como objetivo estudiar cuánto contenido hay en un objeto matemático (como el flujo) y cómo descomponer espacios de alta dimensión de acuerdo con sus límites, que se relacionan con la cantidad de algo que puede contener.

Personalmente, me gusta más la explicación simple y compleja. Imagina que tienes una red ponderada de colaboradores académicos, donde los pesos representan el número de colaboraciones entre las personas X e Y. Imagina que 3 investigadores trabajan juntos en un solo proyecto. Puede representar este proyecto completando el triángulo formado por esta colaboración entre los 3 investigadores. El valor dado a ese triángulo es 1, ya que tienen 1 colaboración entre los 3. Si hubieran publicado 2 artículos juntos, asignaríamos a ese triángulo el valor de 2. Esto es esencialmente lo que hacemos con las formas diferenciales. Construimos objetos de dimensiones superiores a partir de objetos de dimensiones inferiores en función de sus límites compartidos y la cantidad de “cosas” que contienen esos límites.

Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus (Cuarta edición): HM Schey: 9780393925166: Amazon.com: Libros

Hay un gran pequeño libro para la respuesta intuitiva. Juro que era mucho más barato cuando estaba aprendiendo, así que quizás puedas encontrar una copia de la biblioteca.

Para un libro más formal, Formas diferenciales (Dover Books on Mathematics): Henri Cartan: 9780486450100: Amazon.com: Libros

Henri Cartan fue uno de los mejores matemáticos y mejores maestros de matemáticas del siglo XX. Además, el padre de H. Cartan, con quien fue coautor a veces, hizo importantes contribuciones a la invención de formas diferenciales, por lo que tiene una apreciación adicional por el tema.

Vector duals e isomorfismo musical en 1-D

La doble V * de un espacio vectorial V sobre ℝ hace coincidir las listas de reales con funcionales lineales.
¿Cuál es la forma más simple de decir esto? Hable acerca de un número como “5”. Inicialmente lo considero como 5 piedras ⬤⬤⬤⬤⬤. Pero también podría imaginar una línea a través del origen con una pendiente de 5, que representa el verboquintuple.
imágenes de líneas a través del origen con varias pendientes
Visto como una función ƒ₅ = quíntuple, la línea que pasa por el origen con una pendiente de 5, es ƒ₅ (x) = 5 • x. Que ƒ₅ hace cosas como

  • ƒ₅ (■■■) = 5 + 5 + 5 y
  • ƒ₅ (■■■■■■) = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5.

Contar en el espacio dual ƒ₀, ƒ₁, ƒ₂, … se vería como _ / ∕ … |. Pendiente creciente de _ a ⁄ a | en lugar de aumentar el número de 0 a 1 a ∞. O podría decir id, doble, triple, cuádruple, quíntuple, …
(¿Por qué salté tan repentinamente 0,1, … de _ plano a ⁄ 45 °? Esto solo prueba que la mitad de ℝ⁺ está rellenada entre [0,1) y la otra mitad está entre (1, ∞).

Para saltar entre los dos mundos, usa el mapa recíproco flip (■) ≝1 / ■. T

cuando contaras id, medio, tercero, cuarto, quinto, sexto, séptimo … Infinito en una taza de té.)

Estas dos cosas, las cinco rocas ⬤⬤⬤⬤⬤ y la función ƒ₅, ni siquiera son el mismo tipo de cosas. Uno es sustantivos y uno es un verbo.
Pero aún así, para cualquier número real que “conté” podría emparejar una función, tal como lo hice con

  • “5 que conté” y
  • “función ƒ₅ = quíntuple”

Entonces estas dos cosas cualitativamente diferentes están en biyección. (Uno puede esperar ideas al ver las cosas a través de una lente u otra, sustantivo o versión verbal).
Esta historia unidimensional se puede actualizar a una historia multidimensional donde

  • listas de reales (3.1, √2, −2.1852,…, 6)

coincidir con

  • funciones de muchos a uno ƒ (lista) = 3.1 • lista [primera] + √2 • lista [segunda] – 2.1852 • lista [tercera] +… + 6 • lista [Nth].

La traducción entre los puntos de vista del sustantivo y el verbo se denomina isomorfismo musical, representado con los símbolos ♭ y ♯. Subir y bajar índices en un tensor es ♯ y ♭.

¿Encuentras los campos vectoriales intuitivos? Entonces, las formas diferenciales son cosas que toman campos vectoriales en sus múltiples funciones de retorno. Desde una perspectiva puntual: toman vectores tangentes y devuelven números.

Para comprender las formas diferenciales, la geometría diferencial es clave, ya que puede haber observado o leído en línea ahora, la diferenciación e integración se ocupa de los cálculos de objetos físicos de varios tamaños y dimensiones (que se representa en profundidad en Geometría) a diferencia del álgebra mientras trata con números.
Las formas diferenciales son las que se ocupan de lo multivariable que no dependen de las coordenadas.
Ejemplo:
Área cubierta por escaleras de caracol

En Wikipedia hay un ejemplo muy breve: una forma