Tu profesor tiene razón, no puedes entender las formas diferenciales antes de aprender la geometría diferencial.
Por otro lado, las ecuaciones diferenciales ordinarias solo tratan con tipos muy especiales de formas diferenciales llamadas formas únicas (o formas 1), y es más factible controlarlas. Una forma de entenderlos es a través de los campos de Pendiente en ODE.
¿Qué es una EDO? “Encuentre una función y (x) cuyas pendientes y ‘(x) satisfagan una ecuación dada”.
Tome esta ODE por ejemplo: [math] y ‘= x + y [/ math].
- Cómo resolver [matemáticas] (1 + x ^ 2) dy = (1 + y ^ 2) dx [/ matemáticas]
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- Cómo resolver esta ecuación diferencial: [matemáticas] y {” ‘} = y ^ {‘} (1 + y ^ {‘2}) ^ 2 [/ matemáticas]
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Podrías resolverlo algebraicamente si quisieras y obtener algo como [matemáticas] y (x) = ce ^ x – x – 1 [/ matemáticas], pero eso es muy peatonal y aburrido. Dibujemos.
Elija un punto [matemática] (x_0, y_0) [/ matemática] y resuelva [matemática] y ‘= x + y [/ matemática] con la condición inicial [matemática] y (x_0) = y_0 [/ matemática]. Esto le dará una función y (x). Grafica esa función y obtendrás una de las curvas de colores a continuación:
Cada ODE tiene una imagen asociada que consiste en infinitas curvas y resolver la ODE corresponde a elegir la curva que coincida con sus condiciones iniciales / límite.
Una vez que tenga todas las curvas, puede calcular los vectores tangentes [math] \ vec {u} [/ math] en cada punto de cada curva y luego dibujarlos. Estas imágenes se llaman campos de pendiente. Esos son los vectores que ves arriba (excepto que fueron redimensionados para tener una longitud 1 en la imagen).
Recuerde del cálculo y la definición de derivadas que un vector tangente al punto [matemáticas] (x_0, y_0) [/ matemáticas] es [matemáticas] (1, y ‘(x_0)) [/ matemáticas]. En este caso [math] y ‘= x + y [/ math], y por lo tanto [math] \ vec {u} _ {(x_0, y_0)} \ propto (1, x_0 + y_0) [/ math].
Si escribimos [math] u ^ x _ {(x_0, y_0)} [/ math] para la coordenada x y [math] u ^ y _ {(x_0, y_0)} [/ math] para la coordenada y (* *) del vector [math] \ vec {u} _ {(x_0, y_0)} [/ math] entonces la ecuación de proporcionalidad anterior es equivalente a:
[matemática] u ^ y _ {(x_0, y_0)} = (x_0 + y_0) \ cdot u ^ x _ {(x_0, y_0)} [/ matemática].
Recapitulando, la ODE [math] y ‘= x + y [/ math] dio lugar a una ecuación de campo vectorial, la de la línea de arriba.
También puedes ir en sentido contrario. Puede comenzar con la ecuación del campo vectorial y encontrar una función cuyo campo de pendiente lo satisfaga.
Por lo tanto, una forma equivalente de pensar en las EDO es: “Encuentre una función y (x) cuyo campo de pendiente (1, y ‘(x)) sea proporcional a un campo de pendiente dado”.
Entonces hay una dualidad entre:
- Ecuaciones diferenciales, y
- Ecuaciones de campo vectoriales.
Los derivados ayudan a establecer problemas de EDO en el formato anterior, los formularios diferenciales ayudan a establecerlos en el último formato.
Ahora hagamos todo más confuso y cambiemos la notación.
Escribiré [math] \ frac {dy} {dx} [/ math] en lugar de [math] y ‘(x) [/ math].
Escribiré [math] dx [/ math] en lugar de [math] u ^ x _ {(x, y)} [/ math] y [math] dy [/ math] en lugar de [math] u ^ y _ {(x , y)} [/ math]. Es decir, dx y dy son los componentes x e y del vector de pendiente [math] \ vec {u} _ {(x, y)} [/ math].
En esta nueva notación, la dualidad que he descrito dice que:
- ” Encontrar y (x) de modo que [matemáticas] \ frac {dy} {dx} (x) = x + y (x) [/ matemáticas] para todas las x ” .
es lo mismo que
- ” Encontrar y (x) cuyos vectores tangentes [matemática] \ vec {u} _ {(x, y (x))} [/ matemática] satisfacen [matemática] dy (\ vec {u} _ {(x, y ( x))}) = (x + y (x)) \, dx (\ vec {u} _ {(x, y (x))}) [/ math] para todas las x ” .
(Si se divide formalmente entre dx, ¡observe que la segunda ecuación coincide con la primera!)
Entonces, ¿qué son las formas únicas? Las formas únicas son funciones que toman vectores como entrada y escupen escalares como salida.
El dx de una forma toma un vector [math] \ vec {u} [/ math] y escupe su coordenada x, mientras que dy escupe su coordenada y:
- [matemáticas] dx (\ vec {u} _ {(x, y)}) = u ^ x _ {(x, y)} [/ matemáticas], y
- [matemática] dy (\ vec {u} _ {(x, y)}) = u ^ y _ {(x, y)} [/ matemática].
En el diagrama de arriba,
en el punto [matemáticas] (x, y) = (2,3) [/ matemáticas] un vector de pendiente es
- [matemáticas] \ vec {u} _ {(x, y)} = \ vec {u} _ {(2,3)} = (1, 2 + 3) = (1, 5) [/ matemáticas].
En ese mismo punto:
- [matemáticas] dx (\ vec {u} _ {(x, y)}) = 1 [/ matemáticas],
- [matemática] dy (\ vec {u} _ {(x, y)}) = 5 [/ matemática], y
- [matemáticas] (x + y) \, dx (\ vec {u} _ {(x, y)}) = (2 + 3) \ cdot 1 = 5 [/ matemáticas].
No es sorprendente: [math] dy (\ vec {u} _ {(x, y)}) = (x + y) \, dx (\ vec {u} _ {(x, y)}) [/ math] se mantiene cierto.
En general, las formas unitarias son funciones arbitrarias que toman vectores y escupen números, y que son transformaciones lineales de ese vector.
Tenga cuidado de no confundir el punto (x, y) en el que se evalúa el formulario con el vector [math] \ vec {u} [/ math] que conectamos al formulario. Aquí hay otro ejemplo.
1. Una forma más complicada es [math] \ omega _ {(x, y)} = x ^ 2 \, dx + y ^ 3 \, dy [/ math].
Las x e “desnudas” que ves en la fórmula provienen del punto (x, y) en el que vamos a evaluar. El dx y dy son los que se preocupan por el vector [math] \ vec {u} [/ math] que conectamos.
Suponga que evalúa [math] \ omega _ {(x, y)} [/ math] en el punto (x, y) = (1, 2) conectando el vector [math] \ vec {u} = (4, 0) [/ matemáticas]. Entonces [math] \ omega _ {(1,2)} (\ vec {u}) = 1 ^ 2 \ cdot 4 + 2 ^ 3 \ cdot 0 = 4 [/ math]. Si duplica el vector, entonces [math] \ omega _ {(1,2)} (2 \ vec {u}) = 1 ^ 2 \ cdot 8 + 2 ^ 3 \ cdot 0 = 8 [/ math].
2. Otra forma interesante es
[matemáticas] \ eta _ {(x, y)} = \ frac {x \, dy – y \, dx} {x ^ 2 + y ^ 2} [/ matemáticas],
y aparece a menudo en topología diferencial, en integración de calc multivariable y en análisis complejo. De alguna manera, realiza un seguimiento del ángulo que está haciendo su curva con respecto al origen, pero he ido demasiado lejos.
Todo esto solo pertenece a las formas diferenciales de una. Hay tipos más generales de formas diferenciales (formas k), pero entenderlas sin conocer ninguna geometría diferencial es complicado.
Espero que esto ayude.
(**) Las x e y aquí no son exponentes, son superíndices. Esos son similares a los subíndices, excepto que ya hay demasiados subíndices.
Nota: la notación de geometría diferencial es intimidante. Hay una cantidad ridícula de subíndices y superíndices en todas partes, y nos ocupamos de las funciones de los vectores cuyo comportamiento cambia de un punto a otro. Lleva bastante tiempo acostumbrarse a todo esto. No te rindas, una vez que hayas superado ese obstáculo, verás que todo está muy bien construido.