Tienes el enfoque correcto
Escribe [matemáticas] y = \ sum a_n x ^ n [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ x = \ sum \ frac {x ^ n} {n!} [/ matemáticas]
Entonces [matemáticas] y ” (x) + xy (x) – e ^ x = 0 [/ matemáticas] se convierte en:
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[matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} n (n-1) a_n x ^ {n-2} + a_n x ^ {n + 1} – \ frac {x ^ n} {n!} [/matemáticas]
Por el momento, concéntrese en reescribir el primer término de la suma en:
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} (k + 2) (k + 1) a_ {k + 2} x ^ {k}. [/matemáticas]
Aquí renombré [math] n – 2 = k [/ math]. La suma comienza desde [matemática] n = 0 [/ matemática] pero los dos primeros términos son 0, por lo que si bien la suma en términos de k debería comenzar desde -2, puedo dejar que comience desde [matemática] k = 0 [ /matemáticas]. si [matemática] n-2 = k, [/ matemática] entonces [matemática] n -1 = k + 1, [/ matemática] y [matemática] n = k + 2 [/ matemática].
Para el segundo término, hacemos lo contrario, definimos [matemática] l = n + 1 [/ matemática], de modo que [matemática] n = l-1 [/ matemática] y la suma se convierte en [matemática] \ sum_ {l = 1} a_ {n-1} x ^ n [/ matemáticas].
Al final, simplemente cambie el nombre de los incidentes ficticios [math] k = l = n [/ math] para escribir:
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} \ left ((k + 2) (k + 1) a_ {k + 2} + a_ {k-1} – \ frac {1} {k!} \ right) x ^ k = 0 [/ matemáticas]
Ahora debe tener en cuenta que si esta suma de [matemática] \ sum b_n x ^ n = 0 [/ matemática], entonces [matemática] b_n = 0 [/ matemática]. Con [matemáticas] b_k = (k + 2) (k + 1) a_ {k + 2} + a_ {k-1} – \ frac {1} {k!} = 0. [/ Matemáticas]
Entonces, puedes resolver esto para:
[matemáticas] a_ {k + 2} = \ frac {\ frac {1} {k!} – a_ {k-1}} {(k + 1) (k + 2)} [/ matemáticas]
Ahora tendrá una relación de recurrencia entre [matemáticas] a_ {k + 2} [/ matemáticas] y [matemáticas] a_ {k-1} [/ matemáticas]. Parece que ahora necesita tres condiciones límite, ya que esta relación solo le da un tercio de ellas, pero esto no es exactamente cierto. El primer término en la ecuación diferencial, [matemática] k = 0 [/ matemática], será [matemática] 2 a_0 – 1 = 0 [/ matemática], lo que significa que ya sabe [matemática] a_0 [/ matemática] , entonces [math] a_1 [/ math] y [math] a_2 [/ math] pueden describirse por condiciones de contorno.
Es posible que haya cometido un error en alguna parte, así que le animo a que lo revise usted mismo. Lo más importante aquí es poder reescribir las sumas para que den una descripción de la forma [math] \ sum_n = b_n x ^ n = 0 [/ math], luego indique que [math] b_n = 0 [/ math ] y dar la relación de recurrencia.