¿Cuál es un ejemplo de una situación en la que el tratamiento de dy / dx como relación de infinitesimales se rompe y da la respuesta incorrecta?

Answer 1

Regla de cadena multivariable.

Sea [matemática] z = f (x, y); y = f _ {_ {1}} (t); x = f _ {_ {2}} (t) [/ matemática]

[matemáticas] \ frac {dz} {dt} [/ matemáticas] [matemáticas] = \ frac {dz} {dx} \ frac {dx} {dt} + \ frac {dz} {dy} \ frac {dy} { dt} [/ matemáticas]

Si los tratamos como proporciones, el lado derecho se simplifica a [math] 2 \ frac {dz} {dt} [/ math], lo que obviamente es incorrecto.

EDITAR: Algunos comentaristas han señalado que las derivadas de z con respecto a x e y deberían ser parciales en lugar de completas ([matemática] \ frac {\ partial z} {\ parcial x} [/ matemática] en lugar de [matemática] \ frac {dz} {dx} [/ math] etc.) – para postereidad, esto es cierto. Sin embargo, en mi opinión, un tecnicismo como ese es demasiado sutil para importar a un nivel en el que alguien está considerando tratar los derivados como fracciones.

EDITAR RONDA 2: Me di cuenta de que incluso con la notación adecuada, podría reagruparse y cancelar el dt:

[matemática] \ frac {dz} {dt} [/ matemática] [matemática] = \ frac {\ parcial z} {\ parcial x} \ frac {dx} {dt} + \ frac {\ parcial z} {\ parcial y} \ frac {dy} {dt} [/ math]

[matemáticas] \ frac {dz} {dt} = \ frac {\ partial z} {dt} (\ frac {dx} {\ partial x} + \ frac {dy} {\ partial y}) [/ math]

[matemática] dz = \ parcial z (\ frac {dx} {\ parcial x} + \ frac {dy} {\ parcial y}) [/ matemática]

lo que no significa nada hasta donde yo sé.