¿Existe algún método para determinar los valores iniciales que producirían un equilibrio estable en un sistema específico de ecuaciones?

Answer 1

Bueno, si quieres un equilibrio, entonces todas las derivadas de la función deben ser cero: [matemáticas] f ‘(x) = 0, f’ ‘(x) = 0, f’ ” (x) = 0 [/ matemáticas ], etc. Simplemente poner eso en sus ecuaciones diferenciales reducirá en gran medida la complejidad.

Lo que queda es un sistema de ecuaciones que solo dependen del valor de los campos. Esto significa que te queda una ecuación que, en principio, tiene solución (si realmente tiene una solución). Por supuesto, siempre existe la posibilidad de que la solución no se pueda determinar analíticamente.

Luego debe averiguar si este equilibrio es estable o no. La forma más fácil de hacer esto es simplemente usar uno de los muchos programas que permiten cálculos numéricos. La forma analítica es un poco más complicada, implica reescribir su sistema de ecuaciones en términos de [matemáticas] x \ rightarrow x_0 + dx [/ matemáticas]. Aquí [math] x_0 [/ math] es el punto de equilibrio. Luego puede reescribir su sistema en términos de la derivada de [math] dx [/ math] (ya que la derivada de [math] x_0 [/ math] será cero [math]) [/ math], esto debería ser negativo si dx es positivo y viceversa (si no recuerdo mal) para que el equilibrio sea estable.

Answer 2

Sí, por supuesto. Si la dimensión del sistema es lo suficientemente pequeña como para permitir cálculos manuales, simplemente siga el proceso normal de igualar todas las derivadas a cero y luego asumir, al principio, una condición inicial constante indeterminada. Estas condiciones iniciales indeterminadas normalmente formarán parte de su matriz de equilibrio. Luego encontrará los valores propios de esta matriz y, finalmente, resolverá un sistema de desigualdades, lo que hará que la parte real de cada valor propio sea menor que cero. Esto se debe a que, como saben, se obtiene un equilibrio estable solo si todos los valores propios se encuentran en el lado izquierdo del plano complejo. En realidad, es más fácil trabajar con ecuaciones que con desigualdades en un caso como este. Por lo tanto, sugiero que equipare cada parte real a cero, y cualquier conjunto de valores que obtenga, ya lo conoce en el límite entre el equilibrio estable y el inestable. El resto es simple manipulación, obtienes lo que buscas.