Sin obtener demasiados detalles, es difícil abordar este problema utilizando el cálculo estándar, ya que el argumento para la función seno no está definido sobre los reales para valores negativos. Así que fingiré que el dominio son los reales no negativos.
(a) Use una combinación de producto, cadena y regla de potencia para diferenciar y obtener una fórmula para [matemáticas] f ‘(x) [/ matemáticas]. “Continuamente diferenciable” significa que la derivada es continua. Utilice las propiedades de la función seno, polinomios, para argumentar que para todos los valores distintos de cero en el dominio, la derivada es continua para sus valores dados de [matemáticas] k. [/matemáticas]
(b) Recuerde la definición de límite de continuidad. Use su fórmula en la parte (a) para determinar si la derivada es continua en cero. Puede ser útil probar primero [matemáticas] \ lim_ {x -> 0 ^ +} \ frac {\ log (x)} {x} = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ lim_ {x -> 0 ^ +} x ^ {1 / x – 2} (1- \ log (x)) = 0. [/ math] El trabajo para ambos valores de [math] k [/ math] debería ser similar.
(c) Combine las partes (a) y (b) para concluir que la función es continuamente diferenciable.
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