Cómo resolver esta ecuación diferencial: [matemáticas] y {” ‘} = y ^ {‘} (1 + y ^ {‘2}) ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 1

Primero, deje que [math] z = y ‘[/ math], para que

[matemáticas] z ” = z (1 + z ^ 2) ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora realizamos una segunda transformación. Deje [math] z ‘= f (z) [/ math]. Diferenciando ambos lados wrt [matemática] x [/ matemática], obtenemos

[matemáticas] z ” = f ‘(z) z’ = f ‘(z) f (z). [/ matemáticas]

Por lo tanto

[matemáticas] f ‘(z) f (z) = z + 2z ^ 3 + z ^ 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {df} {dz} f = z + 2z ^ 3 + z ^ 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int f df = \ int z + 2z ^ 3 + z ^ 5 dz [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {f ^ 2} {2} = \ dfrac {z ^ 2} {2} + \ dfrac {2z ^ 4} {4} + \ dfrac {z ^ 6} {6} + K [/ matemáticas]

[matemáticas] f ^ 2 = K + z ^ 2 + z ^ 4 + \ frac {z ^ 6} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] f (z) = \ pm \ sqrt {K + z ^ 2 + z ^ 4 + \ frac {z ^ 6} {3}} [/ matemáticas]

Así

[matemáticas] \ dfrac {dz} {dx} = \ pm \ sqrt {K + z ^ 2 + z ^ 4 + \ frac {z ^ 6} {3}} [/ matemáticas]

así que eso

[matemáticas] \ int dx = \ pm \ int (K + z ^ 2 + z ^ 4 + \ frac {z ^ 6} {3}) ^ {- 1/2} \, dz [/ math]

[matemáticas] x + C = \ pm \ int (K + z ^ 2 + z ^ 4 + \ frac {z ^ 6} {3}) ^ {- 1/2} \, dz [/ matemáticas]

El lado derecho es una integral realmente difícil, sin embargo, supongo que para algunos valores de [math] K [/ math], la integral no es tan prohibitiva. Como no tengo ningún límite ni condiciones iniciales, no puedo inferir [matemáticas] K [/ matemáticas]. Y de todos modos, después de resolver esa integral, aún necesita reemplazar cada instancia de [math] z [/ math] por [math] y ‘[/ math], de alguna manera haga que [math] y’ [/ math] sea el tema de la fórmula, e integrar de nuevo. Eso es lo más lejos que puedo llegar. Dudo que alguien pueda hacerlo mejor que esto, sin recurrir a métodos aproximados.

Sin embargo, podría estar equivocado, ¡así que agradecería si alguien pudiera demostrarme que estaba equivocado!

Answer 2

[matemáticas] \ displaystyle {y ” ‘= y’ (1 + y ‘^ 2) ^ 2} [/ matemáticas]

Deje [math] \ displaystyle {z = y ‘} [/ math], la ecuación se reduce a un pde de segundo orden que es:

[matemáticas] \ displaystyle {z ” = z (1 + z ^ 2) ^ 2} [/ matemáticas]

Este es un pde especial de segundo orden ya que no tiene una variable independiente [math] x [/ math] involucrada. Entonces es posible convertirlo en un primer orden introduciendo una nueva variable como la siguiente:

Deje que [math] \ displaystyle {u = z ‘\ Rightarrow z’ ‘= \ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x} = \ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm { d} z} \ cdot \ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} x} = z ‘\ cdot \ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} z} = u \ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} z}} [/ math]. La ecuación se convierte en:

[matemáticas] \ displaystyle {u \ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} z} = z (1 + z ^ 2) ^ 2} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle {\ Leftrightarrow u \ mathrm {d} u = z (1 + z ^ 2) ^ 2 \ mathrm {d} z} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle {\ Leftrightarrow 2u \ mathrm {d} u = (1 + z ^ 2) ^ 2 \ mathrm {d} (1 + z ^ 2)} [/ math]

Integrando ambos lados:

[matemática] \ displaystyle {3u ^ 2 = (1 + z ^ 2) ^ 3 + C_1} [/ matemática] donde [matemática] C_1 [/ matemática] es constante

[matemáticas] \ displaystyle {\ Leftrightarrow u = \ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} x} = \ frac {\ pm \ sqrt {(1 + z ^ 2) ^ 3 + C_1}} {\ sqrt {3}}} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle {\ Leftrightarrow \ mathrm {d} x = \ frac {\ pm \ sqrt {3} \ mathrm {d} z} {\ sqrt {(1 + z ^ 2) ^ 3 + C_1}}} [/matemáticas]

Integrando ambos lados nuevamente:

[matemáticas] \ displaystyle {x = \ int \ frac {\ pm \ sqrt {3} \ mathrm {d} z} {\ sqrt {(1 + z ^ 2) ^ 3 + C_1}} = F (z)} [/matemáticas]

donde [math] \ displaystyle {F} [/ math] es una antiderivada del lado derecho de la ecuación anterior. Desde [math] \ displaystyle {y ‘= z} [/ math], tenemos:

[matemáticas] \ displaystyle {x = F (y ‘)} [/ matemáticas]

En caso de que la ecuación anterior se pueda resolver para [math] y ‘[/ math] en términos o [math] x [/ math], de modo que:

[matemáticas] \ displaystyle {y ‘= G (x)} [/ matemáticas]

Entonces podemos encontrar la solución general que se da como:

[matemáticas] \ displaystyle {y = \ int G (x) \ mathrm {d} x} \ quad \ square [/ math]

Answer 3