Recuerde que una matriz real [matemática] n \ veces n [/ matemática] se llama ortogonal si [matemática] U ^ TU = I [/ matemática] (donde [matemática] T [/ matemática] denota la transposición). Recuerde también que el producto punto de dos vectores [math] \ vec {v} [/ math] y [math] \ vec {w} [/ math] puede escribirse como [math] \ vec {v} \ cdot \ vec {w} = \ vec {v} ^ T \ vec {w} [/ math]. De esto se deduce que las matrices ortogonales preservan el producto escalar. Es decir:
[matemáticas] \ left (U \ vec {v} \ right) \ cdot \ left (U \ vec {w} \ right) = \ left (U \ vec {v} \ right) ^ T \ left (U \ vec {w} \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ vec {v} ^ TU ^ TU \ vec {w} = \ vec {v} ^ T \ vec {w} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ vec {v} \ cdot \ vec {w} [/ matemáticas]
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Esto es significativo, porque también podemos describir el producto de punto como [matemáticas] \ vec {v} \ cdot \ vec {w} = | \ vec {v} | | \ vec {w} | \ cos (\ theta) [/ math], donde [math] | \ cdot | [/ math] denota longitud, y [math] \ theta [/ math] es el ángulo entre [math] \ vec {v} [/ math] y [math] \ vec {w} [/ math]. Entonces, si [math] U [/ math] es unitario, entonces [math] U \ vec {v} [/ math] y [math] U \ vec {w} [/ math] tienen la misma longitud que antes , y el ángulo entre ellos es el mismo. Es decir, [matemáticas] U [/ matemáticas] es una isometría del espacio euclidiano (para ser completamente precisos, es un isomorfo isométrico, pero la distinción no es muy importante aquí).
Sin embargo, [math] U [/ math] también es un mapa lineal, por lo que corrige el origen. ¿Cuáles son las isometrías euclidianas que fijan el origen? Bueno, esas son precisamente las rotaciones y los reflejos (de todos modos, en 2D y 3D. En dimensiones más altas, no está exactamente claro qué deberíamos llamar una ‘rotación’). Si el determinante de [matemáticas] U [/ matemáticas] es 1, entonces es una rotación. Si el determinante es -1, es un reflejo.
Las matrices unitarias son similares, pero en lugar de preservar el producto escalar en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math], conservan el producto interno en [math] \ mathbb {C} ^ n [/ math]. Las transformaciones unitarias aparecen naturalmente en la teoría cuántica como operadores de evolución temporal.