¿Es una matriz 1 x 1 un escalar?

Answer 1

La pregunta que planteaste es buena. Una matriz es una estructura matemática diferente a un número real. Los dos pueden tener un número común, pero significan algo diferente.

La igualdad en matemáticas implica la propiedad de sustitución de los números reales. Si x = y, entonces x puede reemplazar a y en todas las expresiones y ecuaciones válidas. Además, x e y son equivalentes.

EJEMPLO

• Si x = 20 e y = 4 • 5, entonces x = y. El valor y = 4 • 5 se puede escribir como y = 20 en todas las expresiones y ecuaciones válidas.
• Supongamos que la matriz A = [12] y el número real b = 12. ¿Está definida la expresión b + A aunque b no sea una matriz? ¿Podemos escribir b + A = 24 como una ecuación válida? Sabemos que bA se define como un valor escalar multiplicado por una matriz. bA = 12 [12] = [144].

EL PROBLEMA CLARO

Si el número real b = matriz A, entonces tenemos que permitir lo siguiente:

Para b = 12, A = [12],

A + A = [12] + [12]

= 12 + 12 (por sustitución de A = b)

= 24, un número real, no una matriz.

Por lo tanto, sumar dos matrices A + A produce un número real 24 en lugar de una matriz. ¡De ninguna manera!

Permitir que las matrices equivalgan a números reales significaría redefinir significados matemáticos, relaciones y estructuras.

Answer 2

No exactamente.

Puede definir, en teoría, una relación entre una matriz 1 x 1 y el número equivalente que contiene, pero los elementos de cada conjunto son fundamentalmente diferentes.

Quiero decir, ¿cómo puedes aplicar una función exponencial a una matriz? ¿O la función seno? Claro, puede usar series de potencias y aplicar las definiciones de ellas a cualquier valor, y llegar a la conclusión de que [matemática] sin ([x]) = [sin (x)] [/ matemática], pero al final la diferencia entre eso todavía existe.

Answer 3

No particularmente. Una matriz no puede multiplicarse por ninguna matriz como una lata escalar. Una matriz está restringida por sus dimensiones.

Un escalar, por otro lado, puede multiplicarse por cualquier matriz. Todo lo que harías al considerarlo como una matriz 1 x 1 sería restringir sus habilidades.

Answer 4

Las matrices 1 × 1 con entradas reales (complejas) forman un campo que es isomorfo a los números reales (complejos), lo que significa que son esencialmente lo mismo. El mapa [math] \ Phi: \ mathbb {R} \ to Mat (1, \ mathbb {R}), x \ mapsto \ begin {bmatrix} x \ end {bmatrix} [/ math] es un isomorfismo, es decir, Puede realizar sus operaciones en cualquier campo y convertir de un lado a otro en cualquier momento.

Answer 5

No. La multiplicación de matrices y la multiplicación escalar son diferentes (puede multiplicar cualquier escalar por cualquier matriz, pero para multiplicar una matriz 1 × 1 con otra matriz, la otra matriz también debería ser 1 × 1, lo cual es una gran diferencia) .

Answer 6

Técnicamente no. Un escalar no es un rectángulo de 1 por uno lleno de números, sino un número.

Prácticamente, equivale a lo mismo.

Answer 7

Una matriz 1 × 1 no es de hecho un escalar, todavía tiene las propiedades de una matriz.

Si tenemos una matriz 1 × 1 con valores de un campo F, es isomorfo al campo F.

Sin embargo, podemos multiplicar cualquier matriz por un escalar, que es un valor del campo subyacente. Sin embargo, si tenemos otra matriz 2 × 2, no podemos multiplicarla por la matriz 1 × 1. Por lo tanto, no es estructuralmente igual.

Si tomamos la matriz 1xn y la matriz nx1 y las multiplicamos juntas. Este es el producto de punto. Un producto punto es un funcional lineal, se asigna de [math] \ mathbb {R} ^ {n} \ a \ mathbb {R} [/ math]

De hecho, es el espacio interior del producto. Los escalares no tienen esta propiedad.

Answer 8

No. Hay una multiplicación matricial que puede generar una matriz 1 * 1. Tomemos una multiplicación tan simple como esta, una matriz de fila multiplicada por una matriz de columna:

[1 2] * [1] = [5]

[2]

(Lo siento, no puedo hacerlo mejor sin gráficos, la segunda matriz debe leerse como una columna con 1 y 2.)

Answer 9

Depende de la naturaleza del valor que tenga su matriz. Su matriz 1 × 1 nunca será un número real hasta que sea irracional. Ejemplo, (2i) es una matriz 1 × 1 que no es real.

Answer 10

El espacio de las matrices 1 × 1 es isomorfo al espacio (campo / anillo) de los escalares, por lo que es equivalente.

Si considera que las cosas isomórficas son iguales, depende de su filosofía de las matemáticas, y no tengo una respuesta concreta (he respondido seis veces en los dos minutos que he meditado la pregunta).