Cómo mostrar que un subconjunto contiene el vector cero

Answer 1

Según mi experiencia en clases de álgebra lineal, supongo que está tratando de demostrar que un subconjunto dado es un subespacio lineal , que no es lo mismo que un subconjunto. No todos los subconjuntos de un espacio vectorial contienen el vector cero, pero todos los subespacios sí. Por lo tanto, debe verificar que 0 esté en su subconjunto, así como que el subconjunto está cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar.

Es imposible dar una prueba general de que cero está en un subconjunto arbitrario de algún espacio vectorial (porque, como se mencionó anteriormente, no es cierto). Pero si tiene una descripción de un espacio vectorial, todo lo que tiene que hacer es verificar que las propiedades del supuesto subespacio se mantengan en 0. Aquí hay un ejemplo:

Supongamos que queremos mostrar que [math] X: = \ {(x, 0) \ mid x \ in \ mathbb R \} [/ math] es un subespacio de [math] \ mathbb R ^ 2 [/ math]. El vector cero en [math] \ mathbb R ^ 2 [/ math] es [math] (0, 0) [/ math]. Podemos ver que [matemática] (0, 0) \ en X [/ matemática] (tomando [matemática] x = 0 [/ matemática]), por lo que el requisito se cumple.

Como puede imaginar, este argumento se vuelve muy tedioso cuando se repite muchas veces. Es por eso que el autor simplemente dirá que es “claro” u “obvio” sin profundizar en los detalles, que en la mente del autor no son interesantes y deberían ser evidentes para el lector con una pequeña cantidad de pensamiento.

Answer 2

No, cada subconjunto de un espacio vectorial ciertamente no incluye el vector cero. Tome el espacio vectorial [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] luego el subconjunto [math] \ {(2,2) \} [/ math] claramente no incluye el vector cero, pero cada subespacio sí incluye el vector cero. Debe mostrar que la definición del subconjunto cumple las condiciones de ser un subespacio antes de llamarlo un subespacio.