Cómo demostrar que el grupo Matn (C) de matrices invertibles forma un grupo topológico bajo la multiplicación de matrices y la topología euclidiana

Answer 1

Mi respuesta, basada en la experiencia reciente con los estudiantes, es algo diferente a la de las SS y las SA. Mi consejo puede parecer francamente gracioso, pero no lo es: lea la definición de grupo topológico, luego verifique que las matrices invertibles cumplan con esta definición. (OK, eso es contundente, pero en realidad no es nada gracioso).

La tarea establecida ante usted no es como otros problemas de tarea en los que tiene que escanear sus conocimientos para descubrir qué necesita usar. (Ejemplo que encontré recientemente: muestra un subconjunto abierto de [math] \ mathbf {R} ^ 2 [/ math] está conectado si y solo si está conectado a la ruta.) En cambio, se le pide que verifique que Un objeto muy familiar satisface axiomas muy explícitos. Debe dividir la tarea en los pasos necesarios. Si puede articular cuál de los pasos específicos con los que tiene problemas ( por ejemplo , ¿cómo muestro que la operación inversa es continua?), Solicite ayuda nuevamente. (Sin embargo, incluso si tuviera que preguntar eso, yo diría: “¿Puede representar explícitamente la operación inversa? ¿Cuáles son las formas en que podemos mostrar que una función es continua?”)

Este es realmente un ejercicio de comprensión matemática de lectura. Es una habilidad importante para dominar.

No se ofenda por esta respuesta (que solicitó el OP). Se entiende como un consejo sincero, no como un juicio o una crítica.

Answer 2

La respuesta de Samuel Altschul es correcta, pero quería mencionar que hay una manera más fácil de demostrar que [math] GL_n (\ mathbb {C}) [/ math] es un grupo topológico.

Tenga en cuenta primero que multiplicar por una matriz en [math] GL_n (\ mathbb {C}) [/ math] es una transformación continua de [math] \ mathbb {C} ^ n [/ math], tiene que ser así, ya que Es una transformación lineal!

Sin embargo, se deduce de esto que multiplicar por una matriz en [math] GL_n (\ mathbb {C} [/ math] es una transformación continua de [math] \ mathbb {C} ^ {n \ times n} [/ math] —Después de todo, este espacio solo consiste en [math] n [/ math] -tuplas de vectores en [math] \ mathbb {C} ^ n [/ math], y multiplicado por una matriz en [math] GL_n (\ mathbb {C}) [/ math] solo equivale a multiplicar cada vector individual por esa matriz.

Pero [math] GL_n (\ mathbb {C}) [/ math] es solo un subconjunto de [math] \ mathbb {C} ^ {n \ times n} [/ math], y si la multiplicación por una matriz es un ¡transformación continua de [math] \ mathbb {C} ^ n [/ math], debe ser continua cuando la restringimos a [math] GL_n (\ mathbb {C}) [/ math]!

Eso prueba que la multiplicación es de hecho continua. Para mostrar que tomar un inverso también es continuo, usamos el hecho de que [matemáticas] A ^ {- 1} = \ frac {1} {\ det A} Adj (A) [/ matemáticas] donde [matemáticas] Adj (A ) [/ math] es la matriz Adjugate.

El mapa [math] A \ mapsto Adj (A) [/ math] es continuo, ya que simplemente baraja las entradas y agrega algunos signos negativos. [math] A \ mapsto det (A) [/ math] también es continuo, lo que puedes probar de varias maneras. De ello se deduce que [math] A \ mapsto \ frac {1} {\ det A} Adj (A) [/ math] también es continuo, y hemos terminado.

Answer 3

Voy a dividir la prueba en pasos mucho más pequeños, pero no escribiré el 100% de detalle. También voy a usar el nombre más común GL_n (C) para matrices invertibles.

Necesitamos que la multiplicación y la inversión de la matriz sean continuas en GL_n (C). La idea clave es que las funciones polinómicas son continuas. Con esto me refiero a cualquier función desde GL_n (C) a GL_n (C) que se puede escribir como un polinomio en las entradas de la matriz para cada entrada. Esto se deduce del hecho de que la multiplicación, suma, resta son continuas en C.

Podemos escribir la multiplicación de matrices para cada entrada como un polinomio homogéneo de grado 2. Todos estos tipos son continuos en el párrafo anterior, por lo tanto, obtenemos que la multiplicación es continua.

La regla de Kramer nos permite escribir la inversión matricial como un cociente de dos polinomios con el determinante como denominador. Si tuviéramos que el mapa que lleva una matriz a uno sobre su determinante es continuo, seríamos dorados.

Observamos que el mapa inverso multiplicativo es continuo en el grupo multiplicativo de C con la topología euclidiana. El mapa determinante es continuo desde GL_n (C) hasta C ^ \ veces (cómo normalmente escribimos un grupo multiplicativo), por lo tanto, la composición es continua y somos dorados.